[論文レビュー] Classical and Quantum Singularities of Levi-Civita Spacetimes with and without a Positive Cosmological Constant

D. A. Konkowski, Cassidi Reese+2 more|ArXiv.org|Oct 21, 2004

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 3被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、正の宇宙定数を伴う・伴わないリーマン＝チビタ時空における古典的・量子的特異点を、空間的クライン＝ゴルドン作用素の本質的自己共役性を評価するためのウェイリの極限点・極円基準を用いて調査する。ほとんどの古典的に特異な時空は量子力学的にも特異であるが、高角運動量の特定モードは反発的遠心力障壁によって遮断され、量子力学が特定の特異点を「解消」することが示唆される。

ABSTRACT

Levi-Civita spacetimes have classical naked singularities. They also have quantum singularities. Quantum singularities in general relativistic spacetimes are determined by the behavior of quantum test particles. A static spacetime is said to be quantum mechanically singular if the spatial portion of the wave operator is not essentially self-adjoint on a $C_{0}^{\infty}$ domain in $L^{2}$, a Hilbert space of square integrable functions. Here we summarize how Weyl's limit point-limit circle criterion can be used to determine whether a wave operator is essentially self-adjoint and how this test can then be applied to scalar wave packets in Levi-Civita spacetimes with and without a cosmological constant to help elucidate the physical properties of these spacetimes.

研究の動機と目的

• 正の宇宙定数を伴う・伴わないリーマン＝チビタ時空が、量子力学的に特異であるか、あるいは特異でないかを特定すること。
• これらの時空において、空間的クライン＝ゴルドン作用素の本質的自己共役性を評価するために、ウェイリの極限点・極円基準を適用すること。
• 特に準正則特異点を有する時空において、古典的特異点構造と量子的特異点構造の不一致を調査すること。
• 波パケットの時間発展と遠心力障壁を用いた量子的特異点解消の物理的意義を検討すること。
• ソボレフ空間の文脈において、量子的特異点と波の特異点を比較し、今後の波の正則性およびグローバル双曲的性に関する研究を示唆すること。

提案手法

• 本研究では、ホロウィッツ＝マーフォルド基準を用いる：静的時空が量子力学的に特異であるとは、$ L^2 $ 上の $ C_0^\infty $ 上で空間的クライン＝ゴルドン作用素が本質的自己共役でない場合を指す。
• ウェイリの極限点・極円基準を適用し、特異境界における径方向波動方程式の挙動を分析し、自己共役拡張の一意性を決定する。
• パrameter $ \sigma $ の異なる値を対象として、正の宇宙定数を伴う・伴わないリーマン＝チビタ時空に対して分析を実施する。
• 径方向波動方程式を有効ポテンシャル $ V(x) $ を持つシュレーディンガー型方程式に変換し、$ x \to \pm\infty $（すなわち $ R \to 0 $ および $ R \to \infty $ に対応）における漸近的挙動を評価する。
• 各 $ \sigma $ に対して、ポテンシャルが両端で極限点または極円の場合に属するかを分析し、本質的自己共役性を決定する。
• 質量 $ m $、宇宙定数 $ C $、角運動量 $ k $ の役割を検討し、古典的特異点が存在するにもかかわらず、量子的特異点が生じないパrameter領域を同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正の宇宙定数を有するリーマン＝チビタ時空は、量子力学的に特異であるか。また、宇宙定数はその特異性にどのように影響を与えるか。
• RQ2 質量 $ m $ および角運動量 $ k $ がどの値をとる場合に、古典的に特異であるが準正則特異点を有する時空で量子的特異点が生じないか。
• RQ3 反発的遠心力ポテンシャルは、準正則特異点を有する時空における波動作用素の自己共役性にどのように影響するか。
• RQ4 空間的クライン＝ゴルドン作用素が本質的自己共役でなくなる条件は何か。これは量子力学的特異点を示唆する。
• RQ5 古典的特異点が準正則である時空において、量子力学が古典的特異点を解消できるか。もしそうならば、どのような物理的条件下でそれが成立するか。

主な発見

• すべての古典的に特異なリーマン＝チビタ時空は、一般に量子力学的にも特異であるが、高角運動量または高質量の特定モードは反発的遠心力障壁によって遮断され、特異点が量子力学的に「解消」される。
• $ \sigma = 0 $ および $ C \neq 1 $ の場合、$ |m|C \geq 1 $ であるモードは量子的特異点を生じず、量子効果によって古典的特異点が解消されていることを示している。
• $ \sigma = 1 $ の場合も同様の振る舞いを示す：$ |m|C \geq 1 $ のとき、径方向作用素は極限点に属し、古典的準正則特異点が存在するにもかかわらず、時空は量子力学的に非特異である。
• 逆に、$ |m|C < 1 $ の場合、作用素は極円に属し、時空は量子力学的に特異である。これは、量子波が特異点を検出可能であることを示している。
• これらの状況で量子力学的非特異性が生じるのは、有効ポテンシャル障壁のため、波動関数が特異点を調べることができないからである。
• 本研究では、量子的特異点と $ H^1 $ 上の波の特異点が異なる可能性があると示唆され、今後の研究として、これらの時空における波の正則性およびグローバル双曲的性の探求が示唆されている。