[論文レビュー] Classical and Quantum sl(1|2) Superalgebras, Casimir Operators and Quantum Chain Hamiltonians

D. Arnaudon, Chryssomalis Chryssomalakos+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 1995

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、量子超代数 Uqs(sl(1|2)) のカシミール作用素を用いて、セール提示および FRT R-行列形式の両方を用いて、量子鎖ハミルトニアンを構築する。複数のカシミール作用素が類似変換を除いて同一のハミルトニアンを与えることを示し、超対称 t−J モデルの2つの異なる変形が得られる。1つはフェルミオン基底に対応し、もう1つは特徴的基底に対応する。後者は s=1 でペルク＝シュルツ (1,2) モデルに還元される。

ABSTRACT

We examine the two parameter deformed superalgebra $U_{qs}(sl(1|2))$ and use the results in the construction of quantum chain Hamiltonians. This study is done both in the framework of the Serre presentation and in the $R$-matrix scheme of Faddeev, Reshetikhin and Takhtajan (FRT). We show that there exists an infinite number of Casimir operators, indexed by integers $p > 1$ in the undeformed case and by $p \in Z$ in the deformed case, which obey quadratic relations. The construction of the dual superalgebra of functions on $SL_{qs}(1|2)$ is also given and higher tensor product representations are discussed. Finally, we construct quantum chain Hamiltonians based on the Casimir operators. In the deformed case we find two Hamiltonians which describe deformed $t-J$ models.

研究の動機と目的

• 2つの変形パラメータを有する量子超代数 Uqs(sl(1|2)) におけるカシミール作用素の存在と構造を調査すること。
• セール提示および FRT R-行列フレームワークの両方を用いて、これらのカシミール作用素を用いた量子鎖ハミルトニアンを構築すること。
• 量子変形の場合に、異なるカシミール作用素やホップ代数構造が、非同値なハミルトニアンをもたらすかどうかを調査すること。
• 特に開放境界条件の下で、得られたハミルトニアンが類似変換のもとで物理的に同値であるかどうかを特定すること。

提案手法

• フェルミオン基底におけるセール提示を用いて、整数 p ≥ 2 をインデックスとする無限個のカシミール作用素 Ccl_p を、古典的 U(sl(1|2)) 超代数から導出する。
• 2パラメータを有する量子変形 Uqs(sl(1|2)) を構築し、p ∈ ℤ をインデックスとする変形カシミール作用素 C_p を導出。これらが古典的場合と同じ2次関係を満たすことを示す。
• R-行列と生成子行列 L± を用いて、Uqs(sl(1|2)) を FRT 形式に再定式化。これにより、SLqs(1|2) 上の関数の双対ホップ代数構造を可能にする。
• 代数のボソン化基底を導入し、無限個のカシミール作用素のコプロダクトを計算することで、ハミルトニアン構築を容易にする。
• カシミール作用素から3状態量子鎖ハミルトニアンを構築し、Uqs(sl(1|2)) に対する不変性および類似変換のもとでの等価性を分析する。
• 類似変換 O を適用して余分な変形パラメータ (qij) を除去。開放鎖の場合、物理的に重要なのはパラメータ q のみであることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子変形の場合に、異なるカシミール作用素から得られる Uqs(sl(1|2))-不変ハミルトニアンは、複数の非同値なモデルをもたらすか？
• RQ2 Uqs(sl(1|2)) の異なるホップ代数的構造（フェルミオン基底対比特徴的基底）が、物理的に異なる量子鎖ハミルトニアンをもたらすか？
• RQ3 開放境界条件の下で、ハミルトニアンに含まれる余分な変形パラメータ (s, qij) が類似変換によって除去可能か？
• RQ4 フェルミオン基底におけるカシミール作用素から構築されたハミルトニアンは、特徴的基底から得られたものと等価か？
• RQ5 ペルク＝シュルツ (1,2) ハミルトニアンは、特徴的基底におけるカシミールに基づく構成から自然に出現するか？

主な発見

• 古典的普遍包あらわし超代数 U(sl(1|2)) には、整数 p ≥ 2 をインデックスとする無限個のカシミール作用素 Ccl_p が存在し、p1 + p2 = p3 + p4 のとき、2次関係 Ccl_p1 Ccl_p2 = Ccl_p3 Ccl_p4 を満たす。
• 量子の場合、Uqs(sl(1|2)) には p ∈ ℤ をインデックスとする無限個のカシミール作用素 C_p が存在し、これらは古典的場合と同じ2次関係を満たす。
• フェルミオン基底におけるすべてのカシミール作用素は、同じ2スピンハミルトニアンに比例するハミルトニアンを生成するため、正規化を除いて一意の物理的モデルが得られる。
• 開放境界条件の下で、類似変換により q を除くすべてのパラメータが除去され、2パラメータハミルトニアンが1パラメータ形式に簡略化される。
• 特徴的基底で構築されたハミルトニアンは s = 1 のときペルク＝シュルツ (1,2) ハミルトニアンに等価であり、7サイトまでの数値的証拠により、フェルミオン基底と特徴的基底のハミルトニアンのスペクトルが等価であることが確認された。
• 基本表現のテンソル平方における Uqs(sl(1|2)) のコプロダクトの可換子は、恒等演算子と R-行列によって生成され、正規化を除いて不変ハミルトニアンの一意性が裏付けられる。