[論文レビュー] Classical and Umbral Moonshine: Connections and $p$-adic Properties

Ken Ono, Larry Rolen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2014

Advanced Algebra and Geometry参考文献 6被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、アーモニウス・ムーンシャインのモックモジュラー形式から一般化されたボルチャーツ積を構成することで、怪物ムーンシャインとアーモニウス・ムーンシャインの間に深い接続を確立する。これにより、怪物ムーンシャインの Hauptmoduln の有理関数が得られる。主な結果は、純粋な A 型のニエマイヤー格子と怪物群内の共役類との間の対応関係であり、アーモニウス・ムーンシャインの表現次元と怪物ムーンシャインの Hauptmoduln の値を結ぶ恒等式が導かれる。また、これらのボルチャーツ積の対数微分が、特定の算術的性質をもつ p-進モジュラー形式であることも証明される。

ABSTRACT

The classical theory of monstrous moonshine describes the unexpected connection between the representation theory of the monster group $M$, the largest of the simple sporadic groups, and certain modular functions, called Hauptmodln. In particular, the $n$-th Fourier coefficient of Klein's $j$-function is the dimension of the grade $n$ part of a special infinite dimensional representation $V$ of the monster group. More generally the coefficients of Hauptmoduln are graded traces $T_g$ of $g \in M$ acting on $V$. Similar phenomena have been shown to hold for the Matthieu group $M_{24}$, but instead of modular functions, mock modular forms must be used. This has been conjecturally generalized even further, to umbral moonshine, which associates to each of the 23 Niemeier lattices a finite group, infinite dimensional representation, and mock modular form. We use generalized Borcherds products to relate monstrous moonshine and umbral moonshine. Namely, we use mock modular forms from umbral moonshine to construct via generalized Borcherds products rational functions of the Hauptmoduln $T_g$ from monstrous moonshine. This allows us to associate to each pure $A$-type Niemeier lattice a conjugacy class $g$ of the monster group, and gives rise to identities relating dimensions of representations from umbral moonshine to values of $T_g$. We also show that the logarithmic derivatives of the Borcherds products are $p$-adic modular forms for certain primes $p$ and describe some of the resulting properties of their coefficients modulo $p$.

研究の動機と目的

• 一般化されたボルチャーツ積を用いた構成によって、怪物ムーンシャインとアーモニウス・ムーンシャインを統一すること。
• 純粋な A 型のニエマイヤー格子と怪物群内の共役類との間の対応関係を確立すること。
• アーモニウス・ムーンシャインにおける表現の次元と、怪物ムーンシャインの Hauptmoduln の値を結ぶ恒等式を導出すること。
• アーモニウス・ムーンシャインから構成されたボルチャーツ積の対数微分の p-進性を調査すること。
• これらの対数微分が、p を法として制御された係数をもつ p-進モジュラー形式であることを示すこと。

提案手法

• ニエマイヤー格子に関連するアーモニウス・ムーンシャインのモックモジュラー形式を用いて、一般化されたボルチャーツ積を構成する。
• これらの積を用いて、怪物ムーンシャインの Hauptmoduln T_g の有理関数を生成する。
• 調和マース形式およびアペル＝レルヒ和の理論を用いて、モックモジュラー形式を定義・操作する。
• 素数のべき乗を法としたフーリエ係数の非消滅の密度に関するセールの定理を適用して、p-進的性質を分析する。
• ヤコビ・シータ関数および重さ 0、指数 m−1 の弱ヤコビ形式を用いて、基礎的なモジュラー対象を定義する。
• アペル＝レルヒ和を完全化し、実解析的ヤコビ形式を構成する。これはボルチャーツ積を構成する上で不可欠である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーモニウス・ムーンシャインのモックモジュラー形式は、どのようにして怪物ムーンシャインの Hauptmoduln の有理関数を構成するために用いられるか？
• RQ2 純粋な A 型のニエマイヤー格子と怪物群内の共役類との間の正確な対応関係は何か？
• RQ3 構成されたボルチャーツ積の対数微分は、特定の素数 p に対して p-進モジュラー形式であるか？
• RQ4 これらの p-進モジュラー形式のフーリエ係数は、p を法としてどのような算術的性質を示すか？
• RQ5 アーモニウス・ムーンシャインの表現次元と、怪物ムーンシャインの Hauptmoduln の値を結ぶ恒等式を導出できるか？

主な発見

• この構成により、純粋な A 型のニエマイヤー格子と怪物群内の共役類との間の全単射対応が得られ、アーモニウス・ムーンシャインと怪物ムーンシャインの構造が結びつけられる。
• 得られた Hauptmoduln T_g の有理関数は、アーモニウス・ムーンシャインの表現次元と、特定の点における T_g の値との間の恒等式を符号化している。
• 一般化されたボルチャーツ積の対数微分が、特定の素数 p に対して p-進モジュラー形式であることが示された。
• 各々の素数 p に対して、その p-進モジュラー形式のフーリエ係数は、密度の上限を満たす：n ≤ X で a_n ≢ 0 mod p^m を満たす n の個数は、ある α_m > 0 に対して O(X / (log X)^α_m) である。
• これらの p-進モジュラー形式の係数は、p を法として制御された算術的性質を示しており、非消滅係数に関するセールの定理と整合的である。
• この方法により、モックモジュラー形式とボルチャーツ積を用いて、二つの異なるムーンシャイン理論を統一する接続を一般化することに成功した。