[論文レビュー] Classical Bethe Ansatz and Normal Forms in the Jaynes-Cummings Model

O. Babelon, Benoît Douçot|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ヤンス・カマリンクス・ゴーディン模型に古典的ベーテアンザッツを適用し、Lax行列の技法を用いてモーメント写像の臨界点付近での正規形を計算する。楕円型およびフォーカス・フォーカス型特異点のみが発生することを示し、n=1およびn=2の場合の完全な分岐図を、スペクトル曲線の退化に基づいて構成する。正規座標の明示的構成と、モーメント写像の像の内部または境界上にあるランク1の直線についても示している。

ABSTRACT

The Jaynes-Cummings-Gaudin model describes a collection of $n$ spins coupled to an harmonic oscillator. It is known to be integrable, so one can define a moment map which associates to each point in phase-space the list of values of the $n+1$ conserved Hamiltonians. We identify all the critical points of this map and we compute the corresponding quadratic normal forms, using the Lax matrix representation of the model. The normal coordinates are constructed by a procedure which appears as a classical version of the Bethe Ansatz used to solve the quantum model. We show that only elliptic or focus-focus singularities are present in this model, which provides an interesting example of a symplectic toric action with singularities. To explore these, we study in detail the degeneracies of the spectral curves for the $n=1$ and $n=2$ cases. This gives a complete picture for the image of the momentum map (IMM) and the associated bifurcation diagram. For $n=2$ we found in particular some lines of rank 1 which lie, for one part, on the boundary of the IMM, where they behave like an edge separating two faces, and which go, for another part, inside the IMM.

研究の動機と目的

• モーメント写像の臨界点をLax行列表現を用いて同定すること。
• 量子ベーテアンザッツの古典的類似を用いて、対応する二次正規形を計算すること。
• 可積分系における特異点の種別（楕円型、双曲型、フォーカス・フォーカス型）を分類すること。
• n=1およびn=2の場合のモーメント写像の像（IMM）とその分岐図を構成すること。
• ランク1の直線の構造を解析し、境界上にあるものと内部にあるものを区別すること。

提案手法

• ヤンス・カマリンクス・ゴーディン模型の記述と保存ハミルトニアンの導出にLax行列形式を用いる。
• ウィリアムソンの正規形定理を応用し、臨界点付近での保存ハミルトニアンの二次部を同時に対角化する。
• モーメント写像の微分の同時零点として臨界点を特定する。
• 正規座標を用いた正規形の計算を行い、楕円型、双曲型、フォーカス・フォーカス型の区別を行う。
• オーディンの手法に従い、スペクトル曲線の退化を分析して分岐図を再構成する。
• パラメータε₁, ε₂, a₀, b₀, sを用いて保存ハミルトニアンH₁, H₂, H₃を明示的にパラメータ表示し、b₀に関して線形依存であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ヤンス・カマリンクス・ゴーディン模型のモーメント写像の像にどのような種類の特異点が現れるか？
• RQ2 古典的ベーテアンザッツ手順は、正規形を構成する際、量子ベーテアンザッツとどのように関係しているか？
• RQ3 n=1およびn=2スピンの場合、モーメント写像の像の幾何的構造は何か？
• RQ4 モーメント写像の像内のランク1の直線は、境界上にあるのか、それとも内部に貫通しているのか？
• RQ5 スペクトル曲線の退化は、系の分岐図を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• ヤンス・カマリンクス・ゴーディン模型では、楕円型およびフォーカス・フォーカス型特異点のみが存在し、双曲型やその他の種類は現れない。
• 古典的ベーテアンザッツは、量子の場合と同様に、臨界点付近での正規形を体系的に構成する手法を提供する。
• n=2の場合、ランク1の直線は、判別式Δの符号に応じて、モーメント写像の像の境界上および内部に存在する。
• Δ < 0のとき、ランク1の直線はIMMの内部に存在し、スペクトル曲線における複素共役の重解に対応する。
• モーメント写像の像（IMM）は、凸な多面体的集合であり、b₀に関する線形依存性によってランク2の面が形成され、退化からランク1の辺が生じる。
• スペクトル曲線解析により、分岐図が完全に再構成され、n=2の場合に境界上および内部にランク1の直線が存在することが確認された。