[論文レビュー] Classical Capacities of Averaged and Compound Quantum Channels

Igor Bjelaković, Holger Boche|ArXiv.org|Oct 16, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 20

ひとこと要約

本稿は、古典的入力と量子出力をもつ複合および平均化量子チャネルの古典的容量を確立し、与えられたチャネル集合内すべてのチャネルに対して信頼性高く動作する普遍的符号の存在を証明する。普遍的古典的近似による量子相対エントロピーと仮説検定フレームワークを用いて、古典的複合チャネル理論を量子領域に一般化した容量式を導出する。平均化チャネルの容量は、事前分布の下での個々のチャネル容量の本質的下界に等しいことを示す。

ABSTRACT

We determine the capacity of compound classical-quantum channels. As a consequence we obtain the capacity formula for the averaged classical-quantum channels. The capacity result for compound channels demonstrates, as in the classical setting, the existence of reliable universal classical-quantum codes in scenarios where the only a priori information about the channel used for the transmission of information is that it belongs to a given set of memoryless classical-quantum channels. Our approach is based on the universal classical approximation of the quantum relative entropy which in turn relies on the universal hypothesis testing results.

研究の動機と目的

• チャネルが未知であるが、与えられた記憶なし古典的-量子（cq）チャネル集合に属することは分かっている場合の、古典的-量子（cq）チャネルの古典的容量を特定すること。
• 事前分布の下での個々のチャネル容量の本質的下界に基づく容量式を導出することにより、符号化定理を平均化cqチャネルに拡張すること。
• 特定のチャネルが事前に分かっていない状況下でも、与えられた複合チャネル集合内のすべてのチャネルに対して信頼性の高い通信を達成できる普遍的量子符号の存在を確立すること。
• DattaとDorlas（2007）の結果を、適切な可測構造を持つ無限集合の記憶なしcqチャネルに対して、任意の確率測度へ一般化すること。

提案手法

• Nagaokaのアイデアと普遍的仮説検定結果に基づき、独立な量子状態に対する量子相対エントロピーの普遍的古典的近似を構築する。
• Donaldの不等式を用いて、普遍的仮説検定における最小化問題と、複合cqチャネルにおける容量を達成する最適化問題を関連付ける。
• HayashiとNagaokaのアイデアにインspiredされた確率的符号化のアプローチを採用し、演算子不等式を用いて量子仮説検定における誤り確率の上限を制御する。
• 直接部分（誤り確率がゼロに近づく符号の存在）と強力な逆転（容量を超えるレートはいかなる符号長でも達成不可能）を用いて、複合cqチャネルにおける符号化定理を導出する。
• 事前分布による重み付けられたチャネル集合上での個々のチャネル容量の本質的下界に等しいことから、平均化cqチャネルへのフレームワークの適用を行う。
• トレース不等式と一般化逆行列を用いて、確率的符号化構成における誤差バウンドを制御し、誤差の指数的減少を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 送信者と受信者がチャネルが与えられた記憶なしcqチャネル集合に属することしか知らない場合、複合量子チャネルの古典的容量は何か？
• RQ2 チャネルが事前分布に従って選ばれる平均化cqチャネルの容量は、集合内の個々のチャネル容量とどのように関係するか？
• RQ3 特定のチャネルが事前に分かっていない状況下でも、複合集合内すべてのチャネルに対して信頼性の高い通信を達成できる普遍的量子符号を構築できるか？
• RQ4 古典的複合チャネル理論は、特に無限集合のチャネルに対して、どの程度量子設定へ拡張可能か？
• RQ5 量子相対エントロピーの普遍的近似は、複合および平均化量子チャネルの容量式を導出する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 複合古典的-量子チャネルの容量は、集合内すべてのチャネルのホロボ情報の下界に等しく、集合内すべてのチャネルに対して普遍的な信頼性を保証する。
• 平均化古典的-量子チャネルでは、与えられた事前分布の下でのチャネル集合上のホロボ情報の本質的下界に等しく、以前の結果を任意の確率測度へ一般化する。
• 複合cqチャネルにおける普遍的符号の存在が証明され、チャネルの詳細が部分的にしか分かっていない状況下でも信頼性の高い通信が可能であることを示す。
• 本稿では、複合cqチャネルに対して強力な逆転を確立し、導出された容量を超える任意のレートは、符号長にかかわらず非ゼロの誤り確率を生じることを示す。
• 確率的符号化における誤差バウンドは指数的に減少し、その減少率はチャネル集合と選択された符号レートに依存する。
• 本手法により、平均化チャネルの直接部分の符号化定理に対する新しい証明が得られ、HayashiのWeyl–Schur双対性アプローチとは別個のものであり、明示的な誤差バウンドを伴う。