[論文レビュー] Classical conformal blocks and isomonodromic deformations

J. Teschner|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2017

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 9被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、2次元CFTにおけるヴァイラソロ共形ブロックの古典的極限が、平坦なSL(2,C)-接続の接続空間上のハミルトニアン座標系と複素フェンケル＝ニーレンベルク座標系の間の正則座標変換の生成関数に一致することを確立している。これは、共形場理論がガルニエ系に内在する等モノドロミー変形問題を量子化することを示しており、c→∞の極限において古典的共形ブロックがモノドロミー情報の生成関数として現れることを示している。

ABSTRACT

The leading classical asymptotics of Virasoro conformal blocks on the Riemann sphere with n generic and n-3 'heavy' degenerate field insertions can be described in terms of the geometry of Garnier system describing the monodromy preserving deformations of second order Fuchsian differential equations on an n-punctured sphere. This allows us to characterise the leading classical asymptotics of Virasoro conformal blocks completely, and to clarify in which sense conformal field theory represents a quantisation of the isomonodromic deformation problem.

研究の動機と目的

• ヴァイラソロ共形ブロックの古典的極限（c→∞）を、等モノドロミー変形問題の観点から特徴づける。
• 古典的共形ブロックが、平坦接続の接続空間上のハミルトニアン座標と複素フェンケル＝ニーレンベルク座標の間の正則座標変換の生成関数として同定されることを示す。
• 共形場理論が等モノドロミー変形問題の量子化として果たす役割を明確にする。
• 半古典的極限におけるCFTとモノドロミー情報を介したガルニエ系の幾何学的対応関係を明確に確立する。

提案手法

• 正則特異点をもつ2階の常微分方程式に対する等モノドロミー変形問題を用いて、ヴァイラソロ共形ブロックの古典的極限を導出する。
• ガルニエ系を等モノドロミー変形のハミルトニアン形式として用い、座標 (u,v) をダーボウ座標とする。
• リーマン面のパンツ分解から導かれるモノドロミー情報をパラメータリングする複素フェンケル＝ニーレンベルク座標 (l,k) を導入する。
• 古典的共形ブロックの生成関数 W(l,z) が、正則関数 Wu(z,¯z) の実部に等しく、∂zr Re(Wu(z,¯z)) = Hr を満たすことを示す。
• リウヴィル作用素関数 SL(z,¯z) が定数項を除いて Re(Wu(z,¯z)) に一致することを確立し、CFTとタイヒミュラー理論の直接的な関係を結ぶ。
• ハミルトニアンのb-変形を用いてガルニエ系の量子的変形を構成し、その結果得られる方程式がヴァイラソロ共形ブロックのノルムベクトル分離方程式を再現することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヴァイラソロ共形ブロックの古典的極限は、等モノドロミー変形問題とどのように関係するか？
• RQ2 平坦接続の接続空間の文脈において、古典的共形ブロックが生成関数として果たす幾何的意味は何か？
• RQ3 ハミルトニアン座標と複素フェンケル＝ニーレンベルク座標は、モノドロミー情報の接続空間上でどのように関係するか？
• RQ4 半古典的極限におけるリウヴィル作用素の役割は何か？
• RQ5 共形場理論は、どのように古典的ガルニエ系の量子化として現れるのか？

主な発見

• ヴァイラソロ共形ブロックの古典的極限は、平坦なSL(2,C)-接続の接続空間上でのハミルトニアン座標 (u,v) と複素フェンケル＝ニーレンベルク座標 (l,k) の間の正則座標変換の生成関数として同定された。
• 座標変換を生成する関数 W(l,z) は、ガルニエ系のハミルトニアン Hr を用いて ∂zr Re(Wu(z,¯z)) = Hr を満たす。
• リウヴィル作用素関数 SL(z,¯z) は定数項を除いて Re(Wu(z,¯z)) に一致し、CFTとタイヒミュラー理論の直接的な関係を確立した。
• 古典的共形ブロックが、フェンケル＝ニーレンベルク表現における波動関数の生成関数であることが示され、波動関数 Φ(l) が共形ブロックとフーリエ型変換によって関係づけられる。
• b-変形を施したハミルトニアンによるガルニエ系の量子的変形は、ヴァイラソロ共形ブロックのノルムベクトル分離方程式を再現し、CFTが古典的等モノドロミー問題を量子化することを確認した。
• ヴェルリンデのループ演算子の古典的極限が、ハミルトニアン表現とフェンケル＝ニーレンベルク表現の双対性を完全に完成させ、古典的共形ブロックが生成関数としての性質を包括的に特徴づけた。