[論文レビュー] Classical deformations of local surfaces and their moduli of instantons

Severin Barmeier, Elizabeth Gasparim|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2016

Geometry and complex manifolds被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトな表面 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$ の半普遍的変形を研究し、任意の非自明な変形 $\mathcal{Z}_k$ がアフィンであることを証明する。$Z_k$ 上のインスタントンの準射的モジュライ空間とは対照的に、$\mathcal{Z}_k$ 上のインスタントンモジュライ空間は空であることが示され、変形された幾何におけるインスタントン解の存在に対する根本的な障害を示している。

ABSTRACT

We describe the semiuniversal deformation spaces for the noncompact surfaces $Z_k := \operatorname{Tot} (\mathcal O_{\mathbb P^1} (-k))$ and prove that any nontrivial deformation $\mathcal Z_k$ of $Z_k$ is affine. It is known that the moduli spaces of instantons of charge $j$ on $Z_k$ are quasi-projective varieties of dimension $2j-k-2$. In contrast, our results imply that the moduli spaces of instantons on any nontrivial deformation $\mathcal Z_k$ are empty.

研究の動機と目的

• 非コンパクト表面 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$ の半普遍的変形空間を記述すること。
• $Z_k$ の任意の非自明な変形 $\mathcal{Z}_k$ の幾何的性質を特定すること。
• 変形された表面 $\mathcal{Z}_k$ 上でのインスタントンモジュライ空間の存在性と構造を調査すること。
• 元の $Z_k$ 上のインスタントンモジュライと、その非自明な変形 $\mathcal{Z}_k$ 上のインスタントンモジュライの性質を対比すること。

提案手法

• $Z_k$ の形式的変形理論を分析し、その半普遍的変形空間を構成すること。
• コhomologicalおよび幾何的議論を用いて、$Z_k$ の任意の非自明な変形 $\mathcal{Z}_k$ がアフィンであることを証明すること。
• 既知の結果を応用し、$Z_k$ 上のインスタントンモジュライは、電荷 $j$ に対して次元 $2j - k - 2$ の準射的多様体であるとし、基準点とする。
• $\mathcal{Z}_k$ のアフィン性を用いて、アフィン多様体上ではインスタントン的性質を持つ非自明な正則バンドルが存在しないことから、$\mathcal{Z}_k$ 上のインスタントンモジュライ空間が空であることを導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面 $Z_k = \operatorname{Tot}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^1}(-k))$ の半普遍的変形空間の構造は何か？
• RQ2 $Z_k$ の任意の非自明な変形 $\mathcal{Z}_k$ はアフィンであるか？
• RQ3 $\mathcal{Z}_k$ 上のインスタントンモジュライ空間は、$Z_k$ 上のそれらとどのように異なるか？
• RQ4 なぜ $Z_k$ 上では存在するインスタントンモジュライ空間が、非自明な変形 $\mathcal{Z}_k$ 上では空になってしまうのか？

主な発見

• $Z_k$ の半普遍的変形空間が明示的に記述され、その変形の完全な局所モジュライが得られた。
• $Z_k$ の任意の非自明な変形 $\mathcal{Z}_k$ がアフィンであることが証明された。
• 電荷 $j$ のインスタントンモジュライ空間は、$Z_k$ 上で次元 $2j - k - 2$ の準射的多様体であることが、すでに知られていた。
• 任意の非自明な変形 $\mathcal{Z}_k$ 上のインスタントンモジュライ空間は空であることが示された。これは、$\mathcal{Z}_k$ のアフィン性と、それに伴う非自明なインスタントン解の存在を妨げる障害によるものである。