[論文レビュー] Classical derived functors as fully faithful embeddings

Pedro Nicol, Manuel Saorı́n|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 36被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、関数 $\mathbf{D}(A)$ と $\mathbf{D}(B)$ の導来圏間の完全忠実な関手である、古典的導来関手 $?\otimes^\mathbf{L}_B T^\bullet$ および $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ が完全忠実であるための必要十分条件を提示する。これは、傾き理論および再構成構造（recollement）との関連を確立し、完全忠実性が双対的半傾き（generalized semi-tilting）または Wakamatsu 傾き条件に等価であることを示し、古典的 Wakamatsu 傾き問題への関連を解消する。

ABSTRACT

Given associative unital algebras $A$ and $B$ and a complex $T^\bullet$ of $B-A-$bi\-modules, we give necessary and sufficient conditions for the total derived functors, $\Rh_A(T^\bullet,?):\D(A)\longrightarrow\D(B)$ and $?\Lt_BT^\bullet:\D(B)\longrightarrow\D(A)$, to be fully faithful. We also give criteria for these functors to be one of the fully faithful functors appearing in a recollement of derived categories. In the case when $T^\bullet$ is just a $B-A-$bimodule, we connect the results with (infinite dimensional) tilting theory and show that some open question on the fully faithfulness of $\Rh_A(T,?)$ is related to the classical Wakamatsu tilting problem.

研究の動機と目的

• 代数の導来圏間の導来関手 $?\otimes^\mathbf{L}_B T^\bullet$ および $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ が完全忠実であるための必要十分条件を同定すること。
• これらの関手が導来圏の再構成構造（recollement）において現れる条件を特徴づけること。
• $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ の完全忠実性を一般化傾きおよび Wakamatsu 傾きモジュールと結びつけること、特に無限次元設定において。
• $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ の完全忠実性を古典的 Wakamatsu 傾き問題と関連づけること。

提案手法

• 導来圏 $\mathcal{D}(A)$ と $\mathcal{D}(B)$ 間の関手としての古典的導来関手 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ および $?\otimes^\mathbf{L}_B T^\bullet$ の使用。
• 高次の Ext 群の消滅および自己準同型代数の同型を用いた一般化半傾きモジュールの概念の適用。
• コンパクト対象上の導来関手の振る舞いを分析するための射影的分解および随伴性の性質の使用。
• 自然変換 $\sigma: \text{Id} \to \text{Hom}_{B^{op}}(\text{Hom}_A(?, T), T)$ 及びその同型性の使用による双対性の確立。
• $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ や $?\otimes^\mathbf{L}_B T^\bullet$ が再構成構造における完全忠実関手 $i_*$, $j_*$ などの役割を果たすときの条件を同定することで再構成構造の分析。
• 問題を $T^\bullet$ に関する加群論的条件に還元すること、例えば $\text{Ext}^p_A(T,T) = 0$（$p > 0$）および代数同型 $B \cong \text{End}_{\mathcal{D}(A)}(T^\bullet)$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来関手 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ が代数の導来圏間で完全忠実であるのはどのような条件下か？
• RQ2 $?\otimes^\mathbf{L}_B T^\bullet$ が完全忠実になる条件は何か？また、これは傾き理論とどのように関係するか？
• RQ3 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ や $?\otimes^\mathbf{L}_B T^\bullet$ が導来圏の再構成構造に現れる条件は何か？
• RQ4 $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ の完全忠実性は一般化 Wakamatsu 傾き問題とどのように関連するか？
• RQ5 完全忠実である場合に導来関手がコンパクト対象を保存するための条件は何か？

主な発見

• $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ が完全忠実であるための必要十分条件は、$T^\bullet_A$ が一般化半傾きモジュールであること、および標準的代数準同型 $B \to \text{End}_{\mathcal{D}(A)}(T^\bullet)$ が同型であることである。
• $?\otimes^\mathbf{L}_B T^\bullet$ が完全忠実であるための必要十分条件は、$T^\bullet_A$ が一般化半傾きモジュールであること、および $A \to \text{End}_{B^{op}}(T)^{op}$ が同型であることである。
• もし $T_A$ が一般化 Wakamatsu 傾きモジュールであり、$\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ が完全忠実であれば、$T_A$ は一般化半傾きモジュールである。
• $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T, ?)$ の完全忠実性は、$\text{Ext}^p_A(T,T) = 0$ および $\text{Ext}^p_{B^{op}}(T,T) = 0$（すべての $p > 0$ に対して）であり、自己準同型代数が $A$ および $B$ に同型である場合、コンパクト対象を保存する。
• 自然変換 $\sigma: \text{Id} \to \text{Hom}_{B^{op}}(\text{Hom}_A(?, T), T)$ は $\text{add}(T)$ 内のモジュールに評価されたとき同型である。これは双対性および完全忠実性の証明に不可欠である。
• 導来圏 $\mathcal{D}(A)$ と $\mathcal{D}(B)$ を含む再構成構造が存在し、その中で $\mathbf{R}\text{Hom}_A(T^\bullet, ?)$ が完全忠実関手の一つとして現れるのは、$T^\bullet$ が一般化半傾きモジュールであり、自己準同型代数に同型条件を満たすときである。