[論文レビュー] Classical elliptic current algebras

S. Pakuliak, V. Rubtsov+1 more|ArXiv.org|Sep 22, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、複素トーラス上のテスト関数代数の異なる選択に起因する2つの異なる古典的楕円型電流代数を導入する。これらは楕円曲線の2つの被覆に対応する。これらの代数が異なる準Lie bialgebra構造をもたらし、Faddeev-Reshetikhinの平均化法を用いることで、2つの既知の量子化された動的 quasi-Hopf 電流代数（Enriquez-Felder-Rubtsov および Arnaudon-Buffenoir-Ragoucy-Roche-Jimbo-Konno-Odake-Shiraishi）が得られることを示している。

ABSTRACT

In this paper we discuss classical elliptic current algebras and show that there are two different choices of commutative test function algebras on a complex torus leading to two different elliptic current algebras. Quantization of these classical current algebras give rise to two classes of quantized dynamical quasi-Hopf current algebras studied by Enriquez-Felder-Rubtsov and Arnaudon-Buffenoir-Ragoucy-Roche-Jimbo-Konno-Odake-Shiraishi. Different degenerations of the classical elliptic algebras are considered. They yield different versions of rational and trigonometric current algebras. We also review the averaging method of Faddeev-Reshetikhin, which allows to restore elliptic algebras from the trigonometric ones.

研究の動機と目的

• 複素トーラス上の異なるテスト関数代数を用いて、古典的楕円型電流代数を分類および構成すること。
• それらの古典的極限を分析することで、2つの既知のクラスの量子化された動的 quasi-Hopf 電流代数の違いを明確にすること。
• グリーン核の展開形（テイラー展開対フーリエ展開）の違いが、異なるテスト関数代数および関連する contour 積分に起因することを解釈すること。
• 指数的成長の上限を満たす周期関数上の分布およびスカラー積を用いた、古典的電流代数の枠組みを確立すること。
• 古典的楕円型代数の退化が、極限手続きにより有理型および三角関数型電流代数をもたらす仕組みを示すこと。

提案手法

• 複素数平面上の1周期的整関数で、指数的成長の上限を満たす関数の代数 $ K $ を定義し、$ [-\frac{1}{2}+\alpha, \frac{1}{2}+\alpha] $ 上の contour 積分により不変なスカラー積を備える。
• 分布の導入、特にシフトされた分布およびデルタ関数 $ \delta(u-z) $ を含み、そのフーリエ展開は $ \delta(u-z) = 2\pi i \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-2\pi in(u-z)} $ である。
• 楕円曲線の2つの被覆に対応する2つの異なるテスト関数代数を用いて、2つの異なる古典的楕円型電流代数を構成する。
• グリーン分布を積分核を用いて定義し、そのテイラー展開とフーリエ展開が2つのテスト関数代数に対応することを関連付ける。
• Faddeev-Reshetikhin の平均化法を用いて、解析接続および contour 変形により、三角関数型代数から楕円型代数を再構成する。
• 部分積分および分布上の微分作用素の随伴作用を用いて、半電流のコサイクル公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素トーラス上の異なるテスト関数代数に起因する2つの異なる古典的楕円型電流代数は何か？
• RQ2 グリーン核の異なる展開形（テイラー展開対フーリエ展開）は、どのように異なるテスト関数代数および contour 積分に対応するか？
• RQ3 Faddeev-Reshetikhin の平均化法は、三角関数型代数と楕円型代数をどのように結びつけるか？
• RQ4 古典的楕円型代数の退化はどのようにして有理型および三角関数型電流代数を生じるか？
• RQ5 古典的極限 $ \mathfrak{e}_{\tau}(\widehat{\mathfrak{sl}}_2) $ と $ \mathfrak{u}_{\tau}(\widehat{\mathfrak{sl}}_2) $ の構造的差異は何か？また、それはテスト関数の選択とどのように関係するか？

主な発見

• 異なるテスト関数代数を用いた複素トーラス上で、2つの異なる古典的楕円型電流代数 $ \mathfrak{e}_{\tau}(\widehat{\mathfrak{sl}}_2) $ と $ \mathfrak{u}_{\tau}(\widehat{\mathfrak{sl}}_2) $ が得られ、これらは楕円曲線の2つの被覆に対応する。
• テスト関数代数 $ K $ は、1周期的で整関数であり、指数的成長の上限を満たし、$ \alpha $ のシフトに依存しない不変なスカラー積を備える。
• グリーン分布は積分核を用いて定義され、$ \mathfrak{e}_{\tau} $ の場合はテイラー級数展開、$ \mathfrak{u}_{\tau} $ の場合はフーリエ級数展開を示す。これはグリーン核の分解型の違いに対応する。
• デルタ関数 $ \delta(u-z) $ は $ 2\pi i \sum_{n \in \mathbb{Z}} e^{-2\pi in(u-z)} $ として表現され、テスト関数の空間上で恒等作用素として作用する。
• Faddeev-Reshetikhin の平均化法により、解析接続と contour 変形を用いて、三角関数型代数から楕円型代数を再構成できる。
• 古典的楕円型代数の退化は、既知の量子系における極限と整合的に、有理型および三角関数型電流代数をもたらす。