[論文レビュー] Classical elliptic hypergeometric functions and their applications

V. P. Spiridonov|ArXiv.org|Nov 23, 2005

Mathematical functions and polynomials参考文献 48被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、古典的楕円超幾何関数の理論を構築し、ガウス超幾何関数の楕円的類似を導入し、積分表現および連続関係を通じてその性質を確立する。主な貢献は、多変数楕円β積分の構成および、固有関数の正規化とハミルトニアン形式を用いたカロジェロ＝サザンダース型量子可積分模型への応用である。

ABSTRACT

General theory of elliptic hypergeometric series and integrals is outlined. Main attention is paid to the examples obeying properties of the "classical" special functions. In particular, an elliptic analogue of the Gauss hypergeometric function and some of its properties are described. Present review is based on author's habilitation thesis [Spi7] containing a more detailed account of the subject.

研究の動機と目的

• 一変数および多変数楕円超幾何関数の包括的理論を構築し、古典的超幾何関数の自然な拡張として位置づける。
• 楕円的設定におけるオイラーβ積分の一般化として、楕円β積分を基本的対象として確立する。
• 楕円超幾何関数の重み関数を用いて、カロジェロ＝サザンダース型モデルのハミルトニアンを構成し、その形式的自己随伴性を示す。
• 根系上での Bailey 鏈および積分変換を楕円的設定に一般化し、無限列の変換を可能にする。
• 楕円超幾何関数と双直交関数系の関係を、特に根系 $A_n$ および $C_n$ の文脈で探求する。

提案手法

• 楕円関数の周期 $\omega_1, \omega_2, \omega_3$ を持つ三項関数方程式を用いて、一変数楕円超幾何積分および級数を定義し、準周期性を保証する。
• 楕円的乗数を伴う差分方程式系の解として一変数楕円β積分を導入し、その正規化および対称性を確立する。
• 楕円ガンマ関数およびテータ関数を含む積分表現を用いて、${}_2F_1$ 超幾何関数の楕円的類似を構成する。
• シフト作用素および関数恒等式の解析を通じて、連続関係および楕円超幾何微分方程式を導出する。
• 重み関数を楕円ガンマ関数から構成した上で、$C_n$ および $A_n$ 根系上の量子可積分模型のハミルトニアンを理論的に構成する。
• 積分 Bailey 鏈およびフーリエ＝Bailey 型変換を用いて、根系上での複数変数楕円超幾何積分の無限族の恒等式を生成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的超幾何関数を、積分表現および連続関係などの主要性質を保ちつつ、楕円的設定に一般化する方法は何か？
• RQ2 一変数および多変数楕円β積分の構造的性質は何か？ また、それらは根系の対称性とどのように関係するか？
• RQ3 楕円超幾何関数を用いて、量子可積分系の自己随伴ハミルトニアンを構成可能か？ また、固有関数 $f(\underline{z}) = 1$ の役割は何か？
• RQ4 根系 $A_n$ および $C_n$ 上での積分 Bailey 鏈および変換公式は、どのように楕円的設定に拡張可能か？
• RQ5 定数固有関数の正規化は、根系上で多変数楕円超幾何関数を定義する上でどのような意味を持つのか？

主な発見

• 一変数楕円β積分は、楕円的乗数を伴う三つの差分方程式系の解として確立され、その正規化が基本的楕円超幾何関数を定義する。
• 楕円ガンマ関数を含む積分表現を用いて、${}_2F_1$ 関数の楕円的類似が構成され、古典的ガウス超幾何関数が一般化される。
• 定数関数 $f(\underline{z}) = 1$ が、ヴァン・ディーエン模型のハミルトニアン ${\cal D}_{II}$ の零エネルギー固有関数であることが示され、そのノルムは多重楕円β積分 $V(\underline{t};C_{II})$ で与えられる。
• $C_n$ 根系に対して、二つの異なるハミルトニアン ${\cal D}_I$ および ${\cal D}_{II}$ が定義され、それぞれの重み関数に関して形式的に自己随伴であり、両者とも正規化積分が多変数楕円超幾何関数として得られる。
• $A_n$ および $C_n$ 根系上の多重楕円β積分は、対称性変換に関して不変であることが示され、レインズの対称性構造に関する結果が一般化される。
• 積分 Bailey 鏈が楕円的設定に拡張され、根系上での複数変数楕円超幾何積分の無限列の変換を生成し、古典的超幾何恒等式が一般化される。