[論文レビュー] Classical field theory limit of many-body quantum Gibbs states in 2D and 3D

Mathieu Lewin, Phan Thành Nam+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2018

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 186被引用数 18

ひとこと要約

本稿では、2次元および3次元における多体系量子ギブズ状態の古典場理論的極限を厳密に導出しており、グランドカノニカル量子ギブズ状態が非線形シュレーディンガー方程式の非線形でウィック正規化されたギブズ測度に収束することを示している。収束は分配関数および縮約密度行列に対して確立されており、発散する反発的相互作用を扱うために必要な正規化を提供する臨界化学ポテンシャルが関与している。

ABSTRACT

We provide a rigorous derivation of nonlinear Gibbs measures in two and three space dimensions, starting from many-body quantum systems in thermal equilibrium. More precisely, we prove that the grand-canonical Gibbs state of a large bosonic quantum system converges to the Gibbs measure of a nonlinear Schr{\\"o}dinger-type classical field theory, in terms of partition functions and reduced density matrices. The Gibbs measure thus describes the behavior of the infinite Bose gas at criticality, that is, close to the phase transition to a Bose-Einstein condensate. The Gibbs measure is concentrated on singular distributions and has to be appropriately renormalized, while the quantum system is well defined without any renormalization. By tuning a single real parameter (the chemical potential), we obtain a counter-term for the diverging repulsive interactions which provides the desired Wick renormalization of the limit classical theory. The proof relies on a new estimate on the entropy relative to quasi-free states and a novel method to control quantum variances.

研究の動機と目的

• 2次元および3次元の空間において、多体系量子ギブズ状態の古典場理論的極限を厳密に導出すること。
• 量子分配関数および縮約密度行列がそれらの古典的類似物に収束することを確立すること。
• 化学ポテンシャルが古典的極限におけるウィック正規化を提供する補正項として果たす役割を特定すること。
• 古典的測度における特異的分布の問題を、量子から古典への対応関係によって解決すること。
• 臨界定常状態、つまりボーズ＝アインシュタイン凝縮転移付近で、古典的ギブズ測度が自然に出現することを示すこと。

提案手法

• 準自由量子状態に対する相対エントロピーに関する新しい推定式に依拠する。
• 一次モーメントと交換子推定式を用いて、量子分散を制御するための新規な手法を開発する。
• 自由エネルギーの下界および上界を評価するために変分法を用いる。
• 局所化技術および半古典的解析を用いて、無限次元問題を有限次元の推定に還元する。
• モーメントおよび分散に関する収束評価を集約し、ヒルベルト＝シュミットノルムおよびトレースクラスノルムにおいて密度行列の収束を確立する。
• 化学ポテンシャルを調整することで発散をキャンセルし、古典的極限におけるウィック正規化を実効的に実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模なボーズ系のグランドカノニカル量子ギブズ状態は、2次元および3次元においてどのように古典的非線形ギブズ測度に収束するか？
• RQ2 化学ポテンシャルは、古典的極限における発散する相互作用の正規化にどのように寄与するか？
• RQ3 特異的で正規化が必要な古典的測度は、このような発散を伴わない well-defined な量子系から導出可能か？
• RQ4 熱力学的および平均場極限において、縮約密度行列の収束はどのように確立されるか？
• RQ5 量子自由エネルギーと古典的場理論極限における古典的作用関数の間には、正確にどのような関係があるか？

主な発見

• 量子グランドカノニカルギブズ状態は、$ d ilde{ u}(u) = \frac{1}{Z} e^{-\frac{1}{2} \tilde{D}[u]} d\tilde{ν}_0(u) $ の形の古典的非線形ギブズ測度に収束する。ここで $ \tilde{D}[u] $ は正規化された相互作用エネルギーである。
• 古典的測度は特異的分布に集中しており、ウィック正規化を必要とし、これは量子系における化学ポテンシャルの調整によって動的に生成される。
• 化学ポテンシャルは、相互作用エネルギーにおける発散をキャンセルする補正項として機能し、収束先の well-defined な古典的理論を保証する。
• 均一系およびトラップ済み（非一様）系の両方において収束が成立し、同じ正規化機構が適用可能である。
• 1体縮約密度行列はトレースクラスノルムで収束し、すべての高次密度行列はヒルベルト＝シュミットノルムで収束する。
• 量子系の自由エネルギーは、平均場極限において、古典的非線形シュレーディンガー方程式の作用関数に収束し、正確な漸近的一致が得られる。