[論文レビュー] Classical General Relativity

David B. Malament|ArXiv.org|Jun 10, 2005

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 9被引用数 34

ひとこと要約

本稿は、一般相対性理論の厳密な微分幾何的基盤を提供し、時空の幾何的構造、因果構造が時空幾何を再構成する役割を果たす仕組み、および同時性とニュートン力学の形式的・物理的立場を焦点に据える。過去および未来の区別可能性条件のもとで、時空間の因果同型写像が必ず共形微分同相写像であることを証明しており、時空幾何が因果的順序のみから回復可能であることを示している。

ABSTRACT

This survey paper is divided into two parts. In the first (section 2), I give a brief account of the structure of classical relativity theory. In the second (section 3), I discuss three special topics: (i) the status of the relative simultaneity relation in the context of Minkowski spacetime; (ii) the "geometrized" version of Newtonian gravitation theory (also known as Newton-Cartan theory); and (iii) the possibility of recovering the global geometric structure of spacetime from its "causal structure".

研究の動機と目的

• 微分幾何学と時空モデルを用いて、古典的一般相対性理論の幾何的・基礎的構造を明確化すること。
• 時空の因果的構造、特に歴史的可到達関係にのみ依存して、グローバルな時空幾何が再構成可能かどうかを調査すること。
• ミンコフスキー時空における同時性の「慣習的」対「物理的」立場を分析すること。
• 一般相対性理論の時空構造とは対照的に、幾何学的表現を用いたニュートン力学（ニュートン＝カルタン理論）を提示・検討すること。
• 因果同型写像が微分同相写像および共形等長写像を意味する条件を確立し、因果性から時空構造を回復可能であることを示すこと。

提案手法

• 時空を、符号型$(1,3)$のローレンツ計量$g_{ab}$を備えた滑らかな4次元多様体$M$としてモデル化し、相対論的時空を定義する。
• 抽象的添字表記と標準的な微分幾何学を用いてテンソル場、測地線、曲率を形式化し、物理的原理を局所的幾何的構造に根ざさせること。
• 因果構造を、$p \ll q$（$p$から$q$へ未来向きの時空的曲線が存在する）および$p < q$（因果的曲線が存在する）という関係によって定義する。
• 時空点間の$\ll$関係を保存する因果同型写像$\phi: M \to \overline{M}$の概念を導入する。
• 歴史的条件（Chronology）、未来／過去の区別可能性、強力因果性といった因果性条件を適用し、病理的因果構造を制限する。
• 二つの時空がともに過去および未来に区別可能である場合、それらの間の任意の因果同型写像は、共形因子を除いて計量を保存する共形微分同相写像であることが証明され、時空計量が因果的順序から回復可能であることが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空の完全な幾何的構造は、因果的順序のみから再構成可能か？
• RQ2 ミンコフスキー時空における標準的な同時性の定義は、慣習的であるのか、物理的に決定されるのか？
• RQ3 ニュートン＝カルタン理論は、ニュートン力学の幾何学的表現をどのように示しており、一般相対性理論とはどのように対照的か？
• RQ4 因果構造にどのような条件を課えると、因果同型写像が微分同相写像および共形等長写像であることが保証されるか？
• RQ5 区別可能性や強力因果性といった因果性条件は、時空の位相的・微分的構造にどの程度制限を加えるか？

主な発見

• 過去および未来に区別可能な二つの相対論的時空間の因果同型写像は、計量を共形因子を除いて保存する微分同相写像に限定される。
• 過去または未来の一方の区別可能性のみを仮定すると、この主張は成立せず、幾何的再構成には両方の条件が必要であることが示された。
• 因果的退化時空（任意の$p,q$に対して$p \ll q$が成り立つもの）では、任意の双対写像が因果同型写像として許容され、このような構造からは幾何的情報が得られないことが示された。
• ミンコフスキー時空における標準的な同時性関係は、慣習的ではなく、計量およびアインシュタイン同期化手順によって物理的に決定される。
• ニュートン＝カルタン理論は、退化計量とねじれを有する接続を用いて、相対性理論を前提とせず重力を幾何学化する完全な形式を提供する。
• 十分に良好な振る舞いを示す因果構造（区別可能性によって保証）は、時空の微分的および共形的構造を復元するのに十分な情報を含んでいる。