[論文レビュー] Classical Gravity as an Eikonal Approximation to a Manifestly Lorentz Covariant Quantum Theory with Brownian Interpretation

L. P. Horwitz, O. Oron|ArXiv.org|Jul 20, 2004

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、相対論的ブラウン運動に基づくローレンツ共変な量子理論のエイコナール近似として、古典的重力が出現することを提案する。時空相関を確率過程としてモデル化することで、時空に依存するテンソル $ g_{\mu\nu} $ を持つシュレーディンガー方程式（シュテュッケルベルク＝シュレーディンガー方程式）が導かれる。そのエイコナール極限は一般相対性理論の測地線方程式を再現し、重力を量子確率的力学の幾何的結果として特定する。

ABSTRACT

We discuss in this Chapter a series of theoretical developments which motivate the introduction of a quantum evolution equation for which the eikonal approximation results in the geodesics of a four dimensional manifold. This geodesic motion can be put into correspondence with general relativity. One obtains in this way a quantum theory on a flat spacetime, obeying the rules of the standard quantum theory in Lorentz covariant form, with a spacetime dependent Lorentz tensor $g_{μν}$, somewhat analogous to a gauge field, coupling to the kinetic terms. Since the geodesics predicted by the eikonal approximation, with appropriate choice of $g_{μν}$, can be those of general relativity, this theory provides a quantum theory which could be underlying to classical gravitation, and coincides with it in this classical ray approximation. In order to understand the possible origin of the structure of this equation, we appeal to the approach of Nelson in constructing a Schroedinger equation from the properties of Brownian motion. Extending the notion of Browninan motion to spacetime in a covariant way, we show that such an equation follows from correlations between spacetime dimensions in the stochastic process.

研究の動機と目的

• 明示的にローレンツ共変な量子理論を確立し、古典的重力がそのエイコナール近似として出現することを示すこと。
• 質量を動的変数として扱い、物質密度によって駆動される5つのゲージ場（うち1つが第5の場）を導入することで、相対論的荷電粒子の自己相互作用問題を解決すること。
• 第5のゲージ場が共形計量に吸収可能であることを示し、一般相対性理論と整合する測地線方程式が得られることを示すこと。
• アーベル＝ローレンツ＝ディラック方程式における放射反力項を幾何的議論によって時空曲率と統合すること。
• 相対論的ブラウン運動から導かれる量子進化方程式が、エイコナール極限で一般相対性理論の測地線を再現することを示すこと。

提案手法

• ネルソンの確率力学の相対論的一般化を構築し、不変な進化パラメータ $ \tau $ でパrameter化されたマルコフ過程における時空相関を導入すること。
• 時空に依存するテンソル $ g_{\mu\nu} $ を持つシュテュッケルベルク＝シュレーディンガー方程式を構築し、運動項に結合するゲージ場に類似した性質を持つこと。
• 波動関数のエイコナール近似が、擬リーマン多様体上の測地線運動を生じることを示し、$ g_{\mu\nu} $ がアインシュタイン計量に一致する場合に一般相対性理論と一致することを確認すること。
• 物質密度によって駆動される第5のゲージ場が、計量の共形因子として再解釈可能であり、曲率効果を含む修正されたローレンツ力の法則が得られることを示すこと。
• ブラウン運動の枠組みを用いて、平坦時空における量子理論を導出し、光線極限で古典的重力を再現すること。
• 確率過程にフォッカー＝プランク方程式を適用し、微視的ダイナミクスが物理的時間 $ t $ において非局所的または非マルコフ的である一方で、$ \tau $ においては局所的かつ因果的であることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 明示的にローレンツ共変な量子理論において、動的質量を仮定した場合、古典的重力がエイコナール近似として導かれるか。
• RQ2 物質密度によって駆動される第5のゲージ場の導入が、重力の幾何的記述にどのように寄与するか。
• RQ3 相対論的ブラウン運動における時空相関が、計量に適合する測地線構造をどのように生成するか。
• RQ4 シュテュッケルベルク＝シュレーディンガー方程式のエイコナール極限が、一般相対性理論の測地線方程式をどのように再現するか。
• RQ5 アーベル＝ローレンツ＝ディラック方程式における放射反力項が、相対論的量子枠組みにおいて時空曲率の顕現と解釈可能か。

主な発見

• 時空に依存するテンソル $ g_{\mu\nu} $ を持つシュテュッケルベルク＝シュレーディンガー方程式のエイコナール近似は、任意の擬リーマン計量に対して一般相対性理論の測地線方程式を再現する。
• 物質密度によって駆動される第5のゲージ場は、共形計量に吸収可能であり、曲率効果を含む修正されたローレンツ力の法則が得られる。
• アーベル＝ローレンツ＝ディラック方程式における放射反力 $ \Gamma^\mu $ は、加速フレームの幾何的構造から自然に生じるため、放射と時空曲率の深い関係を示唆する。
• 時空相関を有する相対論的ブラウン運動は、エイコナール極限が古典的測地線運動に対応する量子進化方程式を生成する。
• 基礎となる確率過程は、物理的時間 $ t $ において非マルコフ的または非局所的に見えるが、不変パラメータ $ \tau $ においては局所的かつ因果的である。
• エイコナール極限における時空計量は、確率過程の相関から生じるため、量子揺らぎの観点から重力の動的起源を提供する。