[論文レビュー] Classical Integrability of Non Abelian Affine Toda Models

J. F. Gomes, E. P. Gueuvoghlanian+2 more|ArXiv.org|Oct 27, 2000

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ゲージ化された二ループWess-Zumino-Witten（WZW）模型を用いて、非アーベルなアフィンToda模型を構築し、ゼロ曲率表現とr行列構造を通じて古典的可積分性を示している。非アーベル構造を持つ零位階部分代数のおかげで、電気的およびトポロジカルな電荷を有するソリトンが出現し、r行列から導かれる基本的ポアソン括弧関係式により、無限個の保存量の可換性が証明されている。

ABSTRACT

A class of non abelian affine Toda models is constructed in terms of the axial and vector gauged WZW model. It is shown that the multivacua structure of the potential together with non abelian nature of the zero grade subalgebra allows soliton solutions with non trivial electric and topological charges. Their zero curvature representation and the classical $r$-matrix are also constructed in order to prove their classical integrability.

研究の動機と目的

• coset $ SL(2) \otimes U(1)^{r-1}/U(1) $ に基づく非アーベルなアフィンToda模型を、グレーディング作用素とゲージ化WZW模型を用いて体系的に構築すること。
• ゼロ曲率表現とr行列の構成を通じて、これらの模型の古典的可積分性を示すこと。
• 零位階部分代数 $ \mathfrak{g}_0 = SL(2) \otimes U(1)^{r-1} $ の非アーベル性が、非自明な電気的およびトポロジカル電荷を有するソリトンを許容することを示すこと。
• 古典的r行列から基本的ポアソン括弧関係式を導出し、保存量の可換性を保証すること。

提案手法

• グレーディング作用素 $ Q = h'\hat{d} + \sum_{i \neq a} \frac{2\lambda_i \cdot H}{\alpha_i^2} $ を用いて、アフィンリー代数 $ \tilde{\mathfrak{G}} = \oplus \mathfrak{G}_i $ を分解し、Toda場が零位階部分空間 $ \mathfrak{G}_0 $ をパラメトライズする。
• 群 $ H = H_- \backslash G / H_+ $ における $ G/H $-ゲージ化WZW模型を構築し、$ H_\pm $ を正負の位階作用素で生成する。補助ゲージ場 $ A \in \mathfrak{G}_{<} $、$ \bar{A} \in \mathfrak{G}_{>} $ を導入する。
• 定数位階 $ \pm 1 $ の生成子 $ \epsilon_\pm $ を固定することでヒルベルト還元を行い、有効作用 $ S = S_{WZNW}(B) + \frac{k}{2\pi} \int \mathrm{Tr}(\epsilon_+ B \epsilon_- B^{-1}) d^2x $ を得る。
• ゲージ接続 $ A $ と $ \bar{A} $ を用いてゼロ曲率表現を導出し、平坦性条件 $ \partial A - \partial \bar{A} + [A, \bar{A}] = 0 $ により無限個の保存量の存在を確認する。
• カシミール作用素 $ \mathcal{C} $ から古典的 $ r $-行列 $ r_{\pm} $ を構成し、基本的ポアソン括弧関係式 $ \{ \mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2 \} = [r_{12}, \mathcal{R}_1 + \mathcal{R}_2] $ を検証する。
• 真空配置 $ A_{\text{vac}} = \epsilon_- $、$ \bar{A}_{\text{vac}} = -\epsilon_+ - \mu^2 z \hat{c} $ にドレッシング変換を適用し、ヘイゼンベルク部分代数の固有状態とバーテックス演算子を用いてソリトン解を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベルな零位階部分代数を有するグレーディングされたアフィンリー代数から、非アーベルなアフィンToda模型を体系的にどのように構築できるか？
• RQ2 このような非アーベルToda模型における古典的可積分性を保証する条件は何か？ また、ゼロ曲率表現とr行列構造を用いてどのように証明できるか？
• RQ3 非アーベル構造と多真空ポテンシャルは、非自明な電気的およびトポロジカル電荷を有するソリトンをどのように生じさせるか？
• RQ4 古典的r行列は、古典的位相空間における保存量の可換性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 ソリトン解はどのように分類され、電荷を有するおよび中性の解の合成からどのような相互作用（例：2ソリトン、ブリーダー）が生じるか？

主な発見

• 非アーベルなアフィンToda模型は、$ H = H_- \backslash G / H_+ $ における $ G/H $-ゲージ化WZW模型を用いて構築され、$ \mathfrak{g}_0 $-WZNW模型の可積分的摂動を記述する有効作用を得る。
• 電気的（ネーター）および磁気的（トポロジカル）な電荷が両方存在し、虚数の結合定数 $ \beta^2 = -2\pi/k $ の場合に電気的電荷を有するトポロジカルソリトンが出現する。
• ゼロ曲率表現が明示的に構成され、ゲージ接続の平坦性により無限個の保存量の存在が確認される。
• 古典的 $ r $-行列はカシミール作用素 $ \mathcal{C} $ から導出され、基本的ポアソン括弧関係式 $ \{ \mathcal{R}_1, \mathcal{R}_2 \} = [r_{12}, \mathcal{R}_1 + \mathcal{R}_2] $ が検証され、保存量の可換性が保証される。
• ソリトン解は中性（アーベル $ A_{r-1} $ 模型）、中性-電荷、電荷-電荷型に分類され、2ソリトンおよびブリーダー配置における時間遅れが計算される。
• 真空配置 $ A_{\text{vac}} = \epsilon_- $、$ \bar{A}_{\text{vac}} = -\epsilon_+ - \mu^2 z \hat{c} $ にドレッシング変換を適用することで、ヘイゼンベルク部分代数の固有状態とバーテックス演算子を介してソリトンが生成され、$ A_r^{(1)} $ 模型に対して明示的な解が得られる。