[論文レビュー] Classical $\mathcal{W}$-algebras for centralizers

Alexander Molev, E. Ragoucy|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2019

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、gl_N の任意の冪零元 e における中心化子 a = g_e に関連する、古典的 W代数 W(a) の新しい族を導入する。これらはミウラ型写像を用いて、ポisson頂点代数として構成される。W(a) が無限個の変数における多項式代数であることを証明し、明示的な自由生成子を提供することで、W(a) とアフィン頂点代数 V(a) の臨界レベルにおける中心との同型を確立する。

ABSTRACT

We introduce a new family of Poisson vertex algebras $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ analogous to the classical $\mathcal{W}$-algebras. The algebra $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is associated with the centralizer $\mathfrak{a}$ of an arbitrary nilpotent element in $\mathfrak{gl}_N$. We show that $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is an algebra of polynomials in infinitely many variables and produce its free generators in an explicit form. This implies that $\mathcal{W}(\mathfrak{a})$ is isomorphic to the center at the critical level of the affine vertex algebra associated with $\mathfrak{a}$.

研究の動機と目的

• gl_N 内の冪零元の中心化子 a = g_e に関連する、古典的 W代数 W(a) の新しい族を定義すること。
• W(a) が無限個の変数における多項式代数であり、明示的な自由生成子を持つことを示すこと。
• W(a) とアフィン頂点代数 V(a) の臨界レベルにおける中心とのミウラ型同型を確立すること。
• 従来の主冪零元に関する古典的 W代数の結果を、型 A の任意の冪零軌道へ一般化すること。

提案手法

• 冪零元 e ∈ gl_N の中心化子 a = g_e を、ジョルダン標準形のサイズ λ1 ≤ · · · ≤ λn で定義する。
• a に不変な対称双線形形式 (·|·) を導入し、E(r)_ij[s] における微分多項式の微分代数 V(a) を構成する。
• Lie代数構造を拡張し、セスキラインアリティ、反対称性、ライブニッツ則を満たす λ-括弧を V(a) 上に定義する。
• 三角分解 a = n⁻ ⊕ h ⊕ n⁺ を導入し、p = n⁻ ⊕ h に対してホモモーフィズム ρ: V(a) → V(p) を定義する。
• W(a) ⊂ V(p) を、すべての X ∈ n⁺ に対して ρ{X_λ P} = 0 を満たす P のなす部分代数として定義する。
• E(r)_ij(z) からなる行列の列行列式を用いて、W(a) の明示的な自由生成子を構成し、代数的に独立であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 gl_N 内の任意の冪零元の中心化子に対して、古典的 W代数を体系的に構成できるか？
• RQ2 得られる W代数 W(a) は、アフィン頂点代数 V(a) の臨界レベルにおける中心と同型であるか？
• RQ3 W(a) の明示的な自由生成子を微分多項式の言語で構成できるか？
• RQ4 W(a) から V(a) の中心へのミウラ型写像が、well-defined な同型を与えるか？
• RQ5 W(a) の生成子は、臨界レベル頂点代数におけるセガール＝スガワラベクトルとどのように関係するか？

主な発見

• W(a) はアフィン頂点代数 V(a) の臨界レベルにおける中心と同型であり、古典的 W代数と表現論の間の直接的な関係を確立する。
• 代数 W(a) は無限個の変数における多項式代数であり、E(r)_ij(z) を含む行列の列行列式によって与えられる明示的な自由生成子を持つ。
• 生成子 w(r)_k ∈ W(a) は、行列の各成分が x + λiT + Eii(z) であるような行列の列行列式の係数として構成され、代数的に独立である。
• ミウラ型写像 φ(r)_k ↦ w(r)_k は、V(a) の中心 z(ba) と W(a) の間の微分代数同型を定め、T ↦ ∂ に対応する。
• U(t⁻¹a[t⁻¹])₀ から U(t⁻¹h[t⁻¹]) への射影 f の z(ba) への制限は単射であり、同型が well-defined であることを保証する。
• 生成子は (3.1) を満たす r を満たしており、φ(r)_k が中心に属するような次数の範囲を指定する。