[論文レビュー] Classical metric Diophantine approximation revisited

Victor Beresnevich, Vasily Bernik+2 more|ArXiv.org|Mar 16, 2008

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 33

ひとこと要約

本稿は、キンチンの定理を拡張し、ダフィン＝シューファーおよびカトリンの予想の一般化を検討することで、古典的なメートル的ディオファントス近似を再考する。Lebesgue測度からHausdorff測度への関連を示す質量転送原理を確立し、ほとんどすべての実数に対して、よい近似可能な数の集合が完全なHausdorff次元を持つことを証明する。また、次元関数と単調な近似関数を用いた近似集合のサイズに関する新しい基準を提供する。

ABSTRACT

The idea of using measure theoretic concepts to investigate the size of number theoretic sets, originating with E. Borel, has been used for nearly a century. It has led to the development of the theory of metrical Diophantine approximation, a branch of Number Theory which draws on a rich and broad variety of mathematics. We discuss some recent progress and open problems concerning this classical theory. In particular, generalisations of the Duffin-Schaeffer and Catlin conjectures are formulated and explored.

研究の動機と目的

• Lebesgue測度からHausdorff測度への一般化を含め、キンチンの定理を越えたディオファントス近似のメトリック理論を拡張する。
• 1次元および高次元において、ダフィン＝シューファーおよびカトリンの予想の一般化された形を定式化し、検証する。
• 代数的無理数に関するロースの定理とメトリック近似の関係を検討し、特に次数≥3の代数的数が相対的に悪い近似可能であるかどうかを検討する。
• 近似関数に関連する級数の収束・発散と近似集合のHausdorff測度との関係を、一般化された枠組みで確立する。
• 高次元トーラスにおけるよい近似可能な数の集合の正確なHausdorff次元と測度を特定する。

提案手法

• 質量転送原理を用いて、Lebesgue測度の結果をHausdorff測度に変換し、収束・発散基準から次元に関する主張を導出可能にする。
• r^{-1}f(r) が単調であるような次元関数 $ f $ を用い、級数 $ \sum f(\psi(r)) r^{n-1} $ の収束または発散によって近似集合の大きさを特徴付ける。
• 高次元設定、特に $ \mathbb{I}^{nm} $ にこの原理を適用し、1次元の結果を線形形式の系に一般化する。
• $ \|qx\| < \psi(q) $ が無限に多くの $ q $ に対して成り立つという $ \psi $-近似可能な数の概念を用い、その測度と次元を研究する。
• $ \mathcal{V}^f(\psi) $ を、$ \|qx\| < \psi(q) $ が無限回成り立つような $ x $ の集合として定義し、すべての such $ f $ と $ \psi $ におけるその共通部分集合を分析する。
• 連分数の構造と有界な部分商を用いて、悪い近似可能な数を特徴付け、それらを集合 $ \mathcal{B} $、$ \mathcal{R} $、および $ \mathcal{V} $ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ダフィン＝シューファーの予想は、高次元の線形形式の系へ一般化可能か？
• RQ2 非単調な $ \psi $ の場合、$ \psi $-近似可能な数の集合の正確なHausdorff次元と測度は何か？
• RQ3 次数 $ n \geq 3 $ の代数的無理数に対して、級数 $ \sum \psi(r) $ が発散する単調な近似関数 $ \psi $ が存在し、$ |\mathcal{V}^\alpha(\psi)| < 1 $ となるか？
• RQ4 正の測度を持つ集合 $ B \subset [0,1] $ を構成可能か？そのような $ B $ に対して、すべての $ b \in B $ に対して $ \|q\alpha + b\| < \psi(q) $ が有限個の解しか持たない。ただし $ \alpha $ は次数 $ \geq 3 $ の代数的数とする。
• RQ5 ほとんどすべての $ X \in \mathbb{I}^{nm} $ に対して、ディリクレの定理の高次元版が成り立ち、$ \psi $-近似可能な点の集合の対応するHausdorff次元は何か？

主な発見

• 質量転送原理により、Lebesgue測度の収束・発散基準からHausdorff測度の結果を導出可能であり、キンチンの定理がHausdorff測度へ一般化される。
• 任意の次元関数 $ f $ に対して、$ r^{-1}f(r) $ が単調であるとき、$ \bigcap_{f \in \mathcal{F}} \bigcap_{\psi \in \mathcal{D}^f} \mathcal{V}^f(\psi) = \mathcal{B} $ が成り立ち、悪い近似可能な数の集合が普遍的共通部分として現れることを示す。
• 高次元では、$ \psi(r) = r^{-\tau} $ で $ \tau > n/m $ のとき、集合 $ \mathcal{V}^X_{n,m}(\tau) $ はHausdorff次元 $ n/\tau $ であり、$ \mathcal{H}^{n/\tau} $-測度が無限大である。
• Hausdorff基準の収束部分はすべての $ X \in \mathbb{I}^{nm} $ に対して成り立つが、発散部分はすべての無理数ではなく、ほとんどすべての $ X $ のみに成り立つ。
• 本稿は、ロースの定理が、すべての実数の代数的無理数（次数 $ \geq 3 $）が相対的に悪い近似可能であることを示しており、それらが悪い近似可能でない可能性を仮説として提示する。
• 予想Iおよび予想Jは、次数 $ \geq 3 $ の代数的 $ \alpha $ に対して、正の測度を持つ集合 $ B \subset [0,1] $ が存在し、すべての $ b \in B $ に対して $ \|q\alpha + b\| < \psi(q) $ が有限個の解しか持たない、という主張を提示する。これは $ \sum \psi(r) = \infty $ の場合にも成り立つ可能性がある。