[論文レビュー] Classical/Quantum=Commutative/Noncommutative?

VV Kisil|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2012

Quantum Mechanics and Applications参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、量子力学が根本的に非可換性から生じるという基礎的仮説に挑戦し、非可換性が量子理論に不可欠でないことを示している。代わりに、ε（ε² = 0）という零冪単位と非ゼロのプランク定数を用いて、古典力学を非可換構造で定式化できることを示している。非可換性は量子理論の本質的特徴ではないことが、経路積分表現が交換関係に依存しないことから明らかであり、複素数が量子力学の中心的代数的特徴であると再定義される。

ABSTRACT

In 1926, Dirac stated that quantum mechanics can be obtained from classical theory through a change in the only rule. In his view, classical mechanics is formulated through commutative quantities (c-numbers) while quantum mechanics requires noncommutative one (q-numbers). The rest of theory can be unchanged. In this paper we critically review Dirac's proposition. We provide a natural formulation of classical mechanics through noncommutative quantities with a non-zero Planck constant. This is done with the help of the nilpotent unit, which squares to zero. Thus, the crucial rôle in quantum theory shall be attributed to the usage of complex numbers. The paper provides English and Russian versions.

研究の動機と目的

• ディラックが『可換なc数を非可換なq数に置き換えることによって量子力学が生じる』と主張したことを、批判的に再検討すること。
• 非ゼロのプランク定数を伴う古典力学を、非可換構造を用いて一貫して定式化できることを示すこと。
• 経路積分表現を反例として用い、非可換性が量子理論に不可欠でないことを主張すること。
• 非可換性から複素数への基礎的役割の再定義。
• 観測量代数における次元的不一致を回避する、量子理論の代替的数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 零冪単位ε（ε² = 0）を導入し、非ゼロのプランク定数を伴う古典力学に非可換代数を構築する。
• 環と代数の代数的枠組みを用いて観測量を形式化し、加法における次元的不一致を回避する。
• フェインマン（1965年）の経路積分表現を、非可換性に依存しない量子力学への道筋として分析する。
• フェインマンのQEDや経路積分の講義のような主要な量子理論の文献では、交換関係が言及されていないことを強調する。
• 非可換性ではなく、複素数を量子理論の中心的代数的構造として再解釈する。
• 非可換性を想起させないε代数を用いた古典理論を構築し、量子的挙動を模倣する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典力学は、標準的なc数フレームワークに依存せずに、非可換構造を用いて定式化可能か？
• RQ2 非可換性は本当に量子力学に不可欠なのか、それとも非可換性なしに量子理論を構築可能か？
• RQ3 非可換性と比較して、複素数は量子理論において果たす役割は何か？
• RQ4 経路積分表現は、非可換性が量子力学を定義すると考える考え方にどのように挑戦するか？
• RQ5 非可換な古典的フレームワークにおいて、観測量代数の次元的整合性を保てると考えられるか？

主な発見

• 非ゼロのプランク定数を伴う古典力学を、零冪単位ε（ε² = 0）を用いた非可換構造で一貫して定式化可能である。
• 量子力学の経路積分表現は非可換性を要しない。フェインマンのQED や経路積分の講義では非可換性が言及されていない。
• すべての観測量を加算可能と仮定することは、次元的不適合性により物理的に整合性がなく、ディラックのc数/q数二元論の代数的基盤を揺るがす。
• 非可換性は量子理論の必須特徴ではなく、交換関係を一切避ける定式化によって明らかにされる。
• 量子力学の中心的代数的特徴は非可換性ではなく、複素数の使用であり、これが真の基盤であると再評価されるべきである。
• 非可換性を含まないが、ε代数を用いた数学的に整合性のある古典理論を構築でき、量子的挙動を再現する。