[論文レビュー] Classical representations for quantum-like systems through an axiomatics for context dependence

Bob Coecke|ArXiv.org|Aug 14, 2000

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、測定状態の不確実性を隠れた測定状態の無知としてモデル化することにより、量子的性質を示す系に対して古典的表現を提供する、隠れた測定フレームワークを導入する。すべての量子的性質を持つ測定系が、文脈状態空間として単位区間 [0,1] を用いた古典的隠れ測定表現を有することを証明し、非古典的系における文脈依存性の公理的基盤を提供する。

ABSTRACT

We introduce a definition for a 'hidden measurement system', i.e., a physical entity for which there exist: (i) 'a set of non-contextual states of the entity under study' and (ii) 'a set of states of the measurement context', and which are such that all uncertainties are due to a lack of knowledge on the actual state of the measurement context. First we identify an explicit criterion that enables us to verify whether a given hidden measurement system is a representation of a given couple $\Si,{\cal E}$ consisting of a set of states $\Si$ and a set of measurements ${\cal E}$ ($=$ measurement system). Then we prove for every measurement system that there exists at least one representation as a hidden measurement system with $[0,1]$ as set of states of the measurement context. Thus, we can apply this definition of a hidden measurement system to impose an axiomatics for context dependence. We show that in this way we always find classical representations (hidden measurement representations) for general non-classical entities (e.g. quantum entities).

研究の動機と目的

• 非古典的系における文脈依存性を、隠れ測定モデルを用いて一般化された公理的枠組みとして構築すること。
• 与えられた隠れ測定系が特定の量子的性質を持つ測定系を正しく表現しているかどうかを検証する基準を確立すること。
• 文脈の不確実性を文脈状態の知識不足としてモデル化することで、任意の測定系に対して古典的表現が存在することを証明すること。
• 古典的表現が元の量子的性質を持つ系の対称性および幾何的構造を保持することを保証すること。
• 有限次元量子力学にとどまらない、より広範な応用が可能な、隠れ測定アプローチの数学的に厳密な基盤を提供すること。

提案手法

• 非文脈的実体状態と測定文脈状態の集合によって定義される「隠れ測定系」（h.m.s.）の概念を導入する。
• 実体状態と文脈状態のペアから測定結果への決定的写像を定義し、両状態が与えられた場合に結果が決定的であることを保証する。
• 文脈状態空間上の確率測度を用いて、結果の不確実性を認識論的（エピステーメ的）なものとしてモデル化する。
• 可測関数とσ準同型を用いて、与えられた h.m.s. が測定系 (Σ, E) の有効な表現であるかどうかを判定する基準を確立する。
• 任意の測定系に対して、文脈状態空間が単位区間 [0,1] である隠れ測定表現が存在することを証明する。
• σ代数、σ準同型、測度論的構成を用いて表現を形式化し、存在定理を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての量子的性質を持つ測定系は、測定文脈の無知に起因するすべての不確実性を持つ古典的隠れ測定系として表現可能か？
• RQ2 与えられた測定系を忠実に表現するための隠れ測定系に必要な最小構造は何か？
• RQ3 量子的性質を持つ系の幾何的および対称性的性質は、その古典的隠れ測定表現においてどのように保持されるか？
• RQ4 任意の測定系に対して隠れ測定表現を生成する普遍的な構成法は存在するか？
• RQ5 与えられた隠れ測定系が特定のターゲット測定系の有効な表現であることを保証する数学的条件は何か？

主な発見

• すべての測定系 (Σ, E) は、文脈状態空間が単位区間 [0,1] である隠れ測定表現を少なくとも1つ持つ。
• 与えられた隠れ測定系が特定の測定系を正しく表現しているかどうかを判定する必要十分条件が、可測関数とσ準同型に基づいて確立された。
• 元の系に幾何的構造や対称性が存在する場合、その古典的表現はそれらを保持する。
• この構成は一般性に富み、有限次元だけでなく無限次元系にも適用可能であり、従来の有限次元に限定された結果を拡張する。
• このフレームワークは、正規直交モジュラー格子に対するグッダーの文脈的隠れ変数に関する研究と整合し、統一的視点を提供する。
• 証明は測度論的同型とσ代数の構成に依拠しており、[0,1] が確率空間の普遍的モデルとして用いられている。