[論文レビュー] Classical Representations of Quantum Mechanics Related to Statistically Complete Observables

Werner Stulpe|ArXiv.org|Oct 16, 2006

Quantum Mechanics and Applications参考文献 54被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、統計的に完全な観測量を用いて、量子力学の古典的位相空間表現を提案する。これにより、密度作用素から位相空間上の非負確率密度への写像が可能となる。Wignerの定理により、すべての古典的公理（正しい周辺分布を含む）を正確に満たすことは不可能であるが、近似的には達成可能であり、量子力学的ダイナミクスは非正則化写像を介して位相空間上でのLiouville型方程式に再定式化できることが示された。

ABSTRACT

We present a reformulation of quantum mechanics in terms of probability measures and functions on a general classical sample space and in particular in terms of probability densities and functions on phase space. The basis of our proceeding is the existence of so-called statistically complete observables and the duality between the state spaces and the spaces of the observables, the latter holding in the quantum as well as in the classical case. In the phase-space context, we further discuss joint position-momentum observables, Hilbert spaces of infinitely differentiable functions on phase space, and dequantizations. Finally, the relation of quantum dynamics to the classical Liouville dynamics is investigated.

研究の動機と目的

• 統計的に完全な観測量を用いて、位相空間上での量子力学の古典的表現を開発すること。
• 量子状態を位相空間上の非負確率密度として表現するという根本的な課題に取り組むこと。
• 量子期待値が位相空間関数の積分として表現できる条件を調査すること。
• 量子力学的ダイナミクスが位相空間上での古典的Liouville方程式に再定式化可能かどうかを検討すること。
• Wignerの定理が非負密度を伴う正確な古典的表現に課す制限を明確にすること。

提案手法

• 密度作用素 $W$ から位相空間上の非負確率密度 $\rho_W$ への写像 $W \mapsto \rho_W$ を構築する。
• 公理を課す：アフィンかつ単射な写像、期待値の表現 $\mathrm{tr}(WA) = \int \rho_W f_A \, dq\,dp$、正しい位置・運動量の周辺分布。
• 単射性を保証し、非正則化写像 $A \mapsto f_A$ を可能にするために、統計的に完全な観測量を用いる。
• 群表現およびコherent状態を用いて、位相空間上での連続的恒等分解を生成する。
• 変換 $\hat{T}$ を介してvon Neumann方程式を位相空間に写像し、時間発展に対してLiouville型方程式を導出する。
• 調和振動子の場合、特定の条件下で位相空間ダイナミクスが $\frac{\partial \rho_t}{\partial t} = -\{H, \rho_t\}$ を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 量子力学は、非負確率密度を用いて、一貫した古典的位相空間表現として表現可能か？
• RQ2 量子期待値は、位相空間関数の積分としてどの程度まで表現可能か？
• RQ3 なぜ、正しい周辺分布と非負密度を同時に満たすことが不可能なのか？
• RQ4 量子力学的ダイナミクスは、どのようにして位相空間上での古典的Liouville方程式に再定式化できるか？
• RQ5 統計的に完全な観測量が、量子状態の古典的表現を可能にする役割は何か？

主な発見

• 写像 $W \mapsto \rho_W$ が存在し、公理 (i) および (ii) を正確に満たす：アフィンかつ単射である。
• 公理 (iii) である、位相空間関数による量子期待値の表現は、有界作用素に対しては本質的に成立し、すべての有界作用素に対しては近似的に成立する。
• 公理 (iv) である、正しい位置および運動量の周辺分布を要求する条件は、Wignerの定理により正確には満たせない。
• Wigner関数 $\rho^W_W$ は (i)、(ii)、(iv) を正確に満たすが、負の値を取るため、真の確率密度ではない。
• 調和振動子で $\sigma = 1/\sqrt{2m\omega}$ のとき、$\rho_t = \hat{T} \tau_t \hat{T}^{-1} \rho$ の時間発展は、古典的Liouville方程式 $\frac{\partial \rho_t}{\partial t} = -\{H, \rho_t\}$ を満たす。
• Liouville作用素 $\hat{L}$ からの時間微分 $\dot{\rho}_t$ と偏微分 $\frac{\partial \rho_t}{\partial t}$ が一致するのは、滑らかさおよび定義域の条件を満たす場合に限る。これは、ダイナミクスにおける微妙な違いを浮き彫りにする。