[論文レビュー] Classical Shadow Tomography with Locally Scrambled Quantum Dynamics

Hong-Ye Hu, Soonwon Choi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2021

Quantum many-body systems参考文献 55被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所的スキャンブルド量子ダイナミクス（局所的基底変換に対して不変な有限深さまたは有限時間の局所的ユニタリ系）に古典的シャドウトモグラフィーを一般化し、エンタングルメント特徴に基づく線形推定器を用いた効率的な量子状態再構成を可能にする。これは、パウリやクラッカーに基づく手法よりも低いサンプル複雑性を達成し、スピンチェーンにおける時間に依存する局所的ハミルトニアンの進化の1回のインスタンスでも近似的なトモグラフィーが可能であることを示している。

ABSTRACT

We generalize the classical shadow tomography scheme to a broad class of finite-depth or finite-time local unitary ensembles, known as locally scrambled quantum dynamics, where the unitary ensemble is invariant under local basis transformations. In this case, the reconstruction map for the classical shadow tomography depends only on the average entanglement feature of classical snapshots. We provide an unbiased estimator of the quantum state as a linear combination of reduced classical snapshots in all subsystems, where the combination coefficients are solely determined by the entanglement feature. We also bound the number of experimental measurements required for the tomography scheme, so-called sample complexity, by formulating the operator shadow norm in the entanglement feature formalism. We numerically demonstrate our approach for finite-depth local unitary circuits and finite-time local-Hamiltonian generated evolutions. The shallow-circuit measurement can achieve a lower tomography complexity compared to the existing method based on Pauli or Clifford measurements. Our approach is also applicable to approximately locally scrambled unitary ensembles with a controllable bias that vanishes quickly. Surprisingly, we find a single instance of time-dependent local Hamiltonian evolution is sufficient to perform an approximate tomography as we numerically demonstrate it using a paradigmatic spin chain Hamiltonian modeled after trapped ion or Rydberg atom quantum simulators. Our approach significantly broadens the application of classical shadow tomography on near-term quantum devices.

研究の動機と目的

• パウリやクラッカー測定を超えて、より現実的でニア・トゥモロウの量子デバイスに適した状況に古典的シャドウトモグラフィーを拡張すること。
• トラップドアイオングやリュードバーグ原子量子シミュレータにおけるランダムユニタリ回路の実装に伴う高い制御複雑性の課題に対処すること。
• ターゲット観測量の構造に適応可能な、サンプル複雑性が低いトモグラフィー枠組みを開発すること。
• エンタングルメント特徴と線形再構成マップを用いて、効率的な古典的後処理を可能にすること。
• 有限深さの局所的ユニタリ回路と有限時間の局所的ハミルトニアンの進化の両方への適用可能性を示すこと。

提案手法

• 局所的基底変換に対して不変なユニタリ系を特徴とする、局所的スキャンブルド量子ダイナミクスに古典的シャドウトモグラフィーを一般化する。
• すべての部分系にわたる縮約された古典的スナップショットの組み合わせとして、量子状態の不偏線形推定器を導出する。係数はエンタングルメント特徴によって決定される。
• エンタングルメント特徴に基づくオペレーターシャドウノルム形式を導入し、トモグラフィー手法のサンプル複雑性を上限付ける。
• 2次のエンタングルメント特徴 $W_{\mathcal{E}_{\sigma}}^{(2)}$ を用いて再構成マップを特徴付け、観測量の予測における分散を定量化する。
• 浅い回路と局所的ハミルトニアンに沿った時間発展状態にこの枠組みを適用し、標準的手法よりも低いサンプル複雑性を示す。
• 自己組織的エンタングルメント構造を活用することで、時間に依存する局所的ハミルトニアンの進化の1回のインスタンスでも、近似的なトモグラフィーが可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パウリやクラッカー回路を超えたユニタリ系、例えば有限深さの局所的ユニタリ回路において、古典的シャドウトモグラフィーを一般化することは可能か？
• RQ2 エンタングルメント特徴を用いて、局所的スキャンブルド量子ダイナミクスのサンプル複雑性をどのように上限付けるか、最小化できるか？
• RQ3 トラップドアイオングやリュードバーグ原子シミュレータで一般的に見られる、局所的ハミルトニアンに沿った時間発展状態は、効率的なトモグラフィーを可能にするか？
• RQ4 繰り返しランダム回路を実行するのではなく、局所的ハミルトニアンの進化の1回のインスタンスで、正確な状態再構成が可能か？
• RQ5 エンタングルメント特徴形式は、局所性やランクが異なる観測量に対して、どのように適応的再構成を可能にするか？

主な発見

• 古典的シャドウトモグラフィーにおける再構成マップは、古典的スナップショットの平均エンタングルメント特徴にのみ依存するため、効率的かつ普遍的な再構成が可能である。
• エンタングルメント特徴形式に基づくオペレーターシャドウノルムにより、サンプル複雑性が上限付けることができ、測定回数に対する理論的保証が得られる。
• 有限深さの局所的ユニタリ回路は、標準的なパウリやクラッカーに基づく測定方式よりも低いサンプル複雑性を達成する。
• 数値結果により、スピンチェーンのような時間に依存する局所的ハミルトニアンの進化の1回のインスタンスでも、高い忠実度で近似的なトモグラフィーが可能であることが確認された。
• 制御可能なバイアスが急速に減少する近似的な局所的スキャンブルド系へも適用可能であり、実用性が向上する。
• 本フレームワークにより、階層的回路におけるホログラフィック古典的シャドウトモグラフィーや、測定誘発量子エラー訂正符号の復号といった、新たな応用が可能になる。