[論文レビュー] Classical shadows of fermions with particle number symmetry

Guang Hao Low|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2022

Random Matrices and Applications被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、粒子数 $\eta$ を固定したフェルミオン系の $k$-還元密度行列 (k-RDM) を、粒子数を保存する古典的シャドウを用いて、古典的に効率よく推定する手法を提案する。$\eta$-粒子部分空間におけるランダムな1粒子ユニタリを用いることで、サンプル複雑度が $\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$ に抑えられ、これは量子化学や強縮物理学の系で一般的な $n \gg \eta$ の下で、$n^k$ に比例する従来のキュービットベースの手法と比べて超指数的改善を達成する。

ABSTRACT

We consider classical shadows of fermion wavefunctions with $η$ particles occupying $n$ modes. We prove that all $k$-Reduced Density Matrices (RDMs) may be simultaneously estimated to an average variance of $ε^{2}$ using at most $\binomη{k}\big(1-\frac{η-k}{n}\big)^{k}\frac{1+n}{1+n-k}/ε^{2}$ measurements in random single-particle bases that conserve particle number, and provide an estimator for any $k$-RDM with $\mathcal{O}(k^2η)$ classical complexity. Our sample complexity is a super-exponential improvement over the $\mathcal{O}(\binom{n}{k}\frac{\sqrt{k}}{ε^{2}})$ scaling of prior approaches as $n$ can be arbitrarily larger than $η$, which is common in natural problems. Our method, in the worst-case of half-filling, still provides a factor of $4^{k}$ advantage in sample complexity, and also estimates all $η$-reduced density matrices, applicable to estimating overlaps with all single Slater determinants, with at most $\mathcal{O}(\frac{1}{ε^{2}})$ samples, which is additionally independent of $η$.

研究の動機と目的

• 固定粒子数 $\eta$ を持つフェルミオン系における $k$-RDM の推定にかかるサンプル複雑度の高さに対処すること、特に $n \gg \eta$ の場合に焦点を当てる。
• 粒子数対称性を活用して、粒子数を保存するとともに、古典的シャドウトモグラフィーに適した測定基底を設計すること。
• 従来のキュービットベースや一般フェルミオンシャドウプロトコルと比較して、サンプル複雑度を超指数的に低減すること。
• 低分散で、すべての $\eta$-粒子 $k$-RDM を同時に推定できる計算効率の良い推定器を提供すること。
• 最悪ケースの半分充填状態（半分充填）でも効率を保ち、サンプル複雑度が $n$ に依存しないことを示すこと。

提案手法

• 粒子数を保存する測定を実行するために、$\eta$-粒子部分空間におけるハール測度に従って生成されたランダムな1粒子ユニタリ $U_\eta(u)$ を用いる。
• 回転された占有数状態と、基準フォック基底との重なりを補正する補正演算子 $E_{\eta,k}$ を用いた、$k$-RDM の1ショット推定器を採用する。
• 外代数 $\wedge^\eta \mathcal{U}_n$ 上でのハール積分を用いて測定チャネルの逆を導出し、$k$-RDM の不偏推定を可能にする。
• ピッフェィアンとウェッジ積を用いて補正項を効率的に計算し、多項式時間でピッフェィアンを評価する技術を活用する。
• ピッフェィアンの多項式補間および微分恒等式を用いて、必要な基底要素 $B_{n,\eta,k,u'}(y,z)$ を $\mathcal{O}(\eta k)$ 時間で効率的に計算する。
• 最終的な推定器を $\mathcal{O}(\eta k)$ 項の和として表現することで、計算効率を確保し、各項を多項式時間で計算可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粒子数対称性を活用することで、従来の方法の $\mathcal{O}(n^k)$ スケーリングより低いサンプル複雑度でフェルミオン状態トモグラフィーの推定が可能になるか？
• RQ2 キュービットの場合に類似する超指数的改善を、フェルミオン系における $k$-RDM 推定のサンプル複雑度で達成できるか？
• RQ3 分散 $\epsilon^2$ で、すべての粒子数保存型 $k$-RDM を同時に推定するために必要な最小測定回数は何か？
• RQ4 粒子数を保存する測定のみを用いて、$\eta$-粒子部分空間における $k$-RDM に対する効率的な古典的推定器を構築できるか？
• RQ5 最悪ケース（例：半分充填）におけるサンプル複雑度はどのようにスケーリングされ、$n$ に依存しないようにできるか？

主な発見

• 平均分散が $\epsilon^2$ であるようなすべての $k$-RDM の推定に、最大で $\binom{\eta}{k}\left(1 - \frac{\eta - k}{n}\right)^k \frac{1 + n}{1 + n - k} / \epsilon^2$ 回の測定を用いる。$n \gg \eta$ の下では、これは $\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$ にスケーリングする。
• 最悪ケースの半分充填状態（$\eta = n/2$）においても、従来の手法と比較して $4^k$ 倍のサンプル複雑度の低減を達成する。
• すべての $\eta$-還元密度行列を推定でき、かつすべての単一スレーター確定状態との重なりを、最大 $\frac{4}{3} / \epsilon^2$ 回の測定で効率的に推定できる。この値は $\eta$ に依存しない。
• 推定器は計算的に効率的であり、ピッフェィアンの計算や補正項の評価を含めた全手順が、$n$、$\eta$、$k$ に関して多項式時間で実行可能である。
• 測定チャネルの逆は、外代数 $\wedge^\eta \mathcal{U}_n$ 上でのハール積分を用いて導出され、シャドウからの $k$-RDM の正確な再構成が可能になる。
• すべての粒子数保存型 $k$-RDM に対して、$\mathcal{O}(\eta^k / \epsilon^2)$ 回のサンプルでトモグラフィー的完全性を達成する。これは、従来のフェルミオンシャドウプロトコルの $\mathcal{O}(n^k / \epsilon^2)$ スケーリングと比べて、超指数的改善である。