[論文レビュー] Classical simulation of DQC1$_2$ or DQC2$_1$ implies collapse of the polynomial hierarchy

Tomoyuki Morimae, Harumichi Nishimura+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 24, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、古典的コンピュータがDQC1$_2$またはDQC2$_1$モデルを効率的にシミュレートできると仮定すると、多項式階層が第二レベル（具体的にはAM）に崩壊することを示している。この結果は、DQC1$_2$やDQC2$_1$モデルが、妥当な複雑性仮定のもとで古典的シミュレーションが困難であることを示しており、IQP やボソンサンプリングといった部分的にユニバーサルな量子モデルの複雑性的意義を強化する。

ABSTRACT

Deterministic quantum computation with one quantum bit (DQC1) is a restricted model of quantum computing where the input state is the completely mixed state except for a single clean qubit, and only a single output qubit is measured at the end of the computing. It is proved that the restriction of quantum computation to the DQC1 model does not change the complexity classes NQP and SBQP. As a main consequence, it follows that the DQC1 model cannot be efficiently simulated by classical computers unless the polynomial-time hierarchy collapses to the second level (more precisely, to AM), which answers the long-standing open problem posed by Knill and Laflamme under the very plausible complexity assumption. The argument developed in this paper also weakens the complexity assumption necessary for the existing impossibility results on classical simulation of various sub-universal quantum computing models, such as the IQP model and the Boson sampling.

研究の動機と目的

• DQC1モデルが妥当な複雑性仮定のもとで古典的に効率的にシミュレート可能かどうかという未解決の問題を解消すること。
• DQC1モデルがその制限された性質にもかかわらず、NQPおよびSBQPの完全な複雑性クラスを捉えていることを確立すること。
• IQP やボソンサンプリングのような部分的にユニバーサルな量子モデルのシミュレーションの困難性の理論的根拠を強化すること。
• DQC1フレームワークを用いることで、量子モデルの古典的シミュレーションが不可能であるという仮定を弱める可能性を示すこと。

提案手法

• DQC1がNQPおよびSBQPと既知の複雑性クラスとして等価であるという事実を活用し、DQC1の効率的古典的シミュレーションが多項式階層の崩壊を意味することを確立する。
• DQC1がユニタリ行列のトレースを高精度で計算できることに着目し、これとAMに属する問題を関連付ける。
• 計算複雑性理論における既知の結果を適用し、DQC1が古典的にシミュレータブルならばPH ⊆ AMであることが示され、多項式階層の崩壊が生じることを示す。
• この議論を一般化し、DQC1モデルの異なるキュービット配置を持つ変種であるDQC1$_2$およびDQC2$_1$に対しても同様の帰結が成り立つことを示す。
• 入力状態や測定構造が限定的であるにもかかわらず、DQC1モデルの計算的パワーの頑健性に依拠する。
• シミュレーション問題をAMに属するプロンプト問題に還元することで、古典的シミュレーションに対するタイトな複雑性理論的境界を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DQC1モデルは、妥当な複雑性仮定のもとで、古典的コンピュータによって効率的にシミュレート可能だろうか？
• RQ2 DQC1モデルは、NQP や SBQP のような複雑性クラスの完全なパワーを捉えているだろうか？
• RQ3 DQC1が古典的にシミュレータブルであると仮定した場合、多項式階層にどのような影響が生じるだろうか？
• RQ4 DQC1をフレームワークとして用いることで、IQP やボソンサンプリングのような部分的にユニバーサルな量子モデルの古典的シミュレーション不可能性に関する複雑性仮定を弱めることができるだろうか？
• RQ5 DQC1$_2$ や DQC2$_1$ といった変種は、量子計算の古典的シミュラビリティとどのように関係しているだろうか？

主な発見

• DQC1$_2$またはDQC2$_1$モデルの効率的古典的シミュレーションは、多項式階層が第二レベル、具体的にはAMに崩壊することを意味する。
• DQC1モデルは、その制限された入力および出力構造にもかかわらず、NQPおよびSBQPという複雑性クラスと計算的に同等のパワーを持つ。
• KnillおよびLaflammeが提起した、DQC1の古典的シミュラビリティに関する未解決問題が、妥当な複雑性仮定のもとで解決された。
• IQP やボソンサンプリングのような部分的にユニバーサルなモデルの古典的シミュレーションが不可能であるという結論を導くために、従来のものより弱い複雑性仮定が使用可能である。
• 証明により、限定的な量子資源をもつ量子計算モデルと、基本的な複雑性理論的階層との間にタイトな関係が確立された。
• これらの発見により、量子優位性の理論的基盤が強化され、DQC1のような制限された量子モデルですら、古典的シミュレーションが極めて困難であることが示された。