[論文レビュー] Classical simulation of quantum computation, the Gottesman-Knill theorem, and slightly beyond

M. Van den Nest|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 30

ひとこと要約

この論文は、任意の Clifford 回路を等価で明示的にシミュレート可能な構造に簡略化する正規形を用いた、Clifford 回路の古典的シミュレーション手法を提示する。弱いシミュレーションは古典的に効率的に可能であることが証明され、強いシミュレーションは #P-完全であることが示され、量子計算における弱いシミュレーションと強いシミュレーションの根本的な分離を示している。

ABSTRACT

We study classical simulation of quantum computation, taking the Gottesman-Knill theorem as a starting point. We show how each Clifford circuit can be reduced to an equivalent, manifestly simulatable circuit (normal form). This provides a simple proof of the Gottesman-Knill theorem without resorting to stabilizer techniques. The normal form highlights why Clifford circuits have such limited computational power in spite of their high entangling power. At the same time, the normal form shows how the classical simulation of Clifford circuits fits into the standard way of embedding classical computation into the quantum circuit model. This leads to simple extensions of Clifford circuits which are classically simulatable. These circuits can be efficiently simulated by classical sampling ('weak simulation') even though the problem of exactly computing the outcomes of measurements for these circuits ('strong simulation') is proved to be #P-complete--thus showing that there is a separation between weak and strong classical simulation of quantum computation.

研究の動機と目的

• 安定化子形式に依存せずに、Gottesman-Knill 定理の単純で直接的な証明を提供すること。
• Clifford 回路が高次な量子もつれを生成しても、なぜ量子高速化をもたらさないのかを説明すること。
• 古典的計算が量子回路モデルに標準的に埋め込まれる仕組みの中で、Clifford 回路の古典的シミュレーションがどのように位置づけられるかを示すこと。
• 最小限の非 Clifford ゲートを Clifford 回路に追加することで、新たな効率的シミュレータブルな量子回路クラスを構築すること。
• 弱いシミュレーションと強いシミュレーションの違いを明確にすることで、弱いシミュレーションが依然として効率的である一方で、強いシミュレーションが #P-完全であることを示すこと。

提案手法

• 任意の Clifford 回路を、構造的に単純で、古典的シミュレーションに適した等価な正規形に還元する。
• Z₂ 上の二次関数および線形位相関数を用いた二進ベクトルの和として量子状態を表現する。
• Hadamard、CNOT、PHASE ゲートの下での閉包性を示すために、代数的手法を用い、位相関数と線形項を適切に変換する。
• 二進変数の和を取るための鍵となる補題を用い、依存関係を排除し、ゲート適用後の状態形式を維持する。
• 正規形がすべての Clifford ゲートの下で状態構造を保存することを示し、これにより古典的シミュレーションが効率的に行えることを証明する。
• 正規形を用いて、弱いシミュレーション（サンプリング）が効率的である一方で、強いシミュレーション（確率計算）が #P-完全であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Gottesman-Knill 定理は、安定化子形式に依存せずに証明可能か？
• RQ2 Clifford 回路が高次なもつれを生成しても、なぜ量子高速化をもたらさないのか？
• RQ3 Clifford 回路の古典的シミュレーションは、標準的な古典的計算モデルにどのように埋め込まれるか？
• RQ4 弱いシミュレーションと強いシミュレーションを区別した場合、シミュレーションの複雑さはどのように変化するか？
• RQ5 最小限の非 Clifford ゲートを Clifford 回路に追加することで、新たな効率的シミュレータブルな量子回路クラスが得られるか？

主な発見

• すべての Clifford 回路は、明示的に古典的シミュレート可能な正規形に変換可能であり、Gottesman-Knill 定理の新たな、素朴な証明を提供する。
• 正規形は、Clifford 回路の計算的パワーが ⊕L という複雑度クラスに制限されることを明らかにし、高次なもつれがあるにもかかわらず量子的優位性を示さない理由を説明する。
• 拡張された Clifford 回路の弱い古典的シミュレーションは、単純なサンプリング技術を用いて効率的に可能である。
• 同じ回路の強い古典的シミュレーションが #P-完全であることが証明され、弱いシミュレーションと強いシミュレーションの厳密な分離を示している。
• 正規形は、Clifford 回路の古典的シミュレーションが、NOT と CNOT ゲートのみを用いた古典的計算に正確に対応することを示し、その計算パワーを ⊕L に位置づける。
• Clifford 回路に任意の非 Clifford ゲートを追加すると、量子計算の普遍性が得られ、古典的から量子的計算パワーへの鋭い遷移が示される。