[論文レビュー] Classical Theorems in Noncommutative Quantum Field Theory

Масуд Чайчиан, M. N. Mnatsakanova+2 more|ArXiv.org|Dec 12, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、公理的量子場理論における主要な定理—Reeh-Schlieder定理、不可約性、一般化されたHaagの定理—が、$SO(1,1)$-不変量子場理論において成り立つことを確立している。非可換量子場理論（NC QFT）はその中心的な例である。$SO(1,3)$-不変理論では、4点Wightman関数の等価性が、弾性散乱断面積と全断面積の等価性を意味することを証明している。これは、非局所性のためNC QFTには存在しない結果である。

ABSTRACT

Classical results of the axiomatic quantum field theory - Reeh and Schlieder's theorems, irreducibility of the set of field operators and generalized Haag's theorem are proven in SO(1,1) invariant quantum field theory, of which an important example is noncommutative quantum field theory. In SO(1,3) invariant theory new consequences of generalized Haag's theorem are obtained. It has been proven that the equality of four-point Wightman functions in two theories leads to the equality of elastic scattering amplitudes and thus the total cross-sections in these theories.

研究の動機と目的

• 公理的量子場理論の基礎的定理を、特に$SO(1,1)$不変性の下で非可換量子場理論（NC QFT）に拡張すること。
• SO(1,3)-不変理論における一般化されたHaagの定理が、NC QFTに存在しない新たな物理的結果をもたらすかどうかを調査すること。
• 2つの理論におけるWightman関数の等価性が、散乱観測量（断面積や断面積）の等価性を意味するかどうかを特定すること。
• 非可換および可換フレームワーク下でのWightman関数における局所的可換性と解析性の役割を明確化すること。

提案手法

• Wightman公理枠組みをNC QFTに適用し、Moyalスター積を用いた場演算子の真空期待値によってWightman関数を定義する。
• $SO(1,1)$-不変NC QFTにおける対称性を保つために、ねじれPoincaré不変性を適用し、量子群構造と整合性を保つ。
• $SO(1,3)$-不変系において、Wightman関数と散乱断面積の関係を確立するために、Lehmann-Symanzik-Zimmermann（LSZ）還元公式を用いる。
• 可換座標（$x^0, x^3$）に関してWightman関数の解析性を分析する一方、非可換座標（$x^1, x^2$）は非解析的扱いとする。
• 可換および非可換設定における局所的可換性の条件を比較し、特定の時空的分離の上限がある場合に等価であることを示す。
• Fourier変換および微分作用素を用いて4点Wightman関数から散乱断面積を導出し、関数の等価性から断面積の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SO(1,1)-不変非可換量子場理論において、Reeh-Schlieder定理および場演算子の不可約性は成立するか？
• RQ2 SO(1,3)-不変QFTにおける一般化されたHaagの定理は、NC QFTに存在しない新たな物理的結果をもたらすか？
• RQ3 2つの量子場理論の4点Wightman関数が同一ならば、それらの弾性散乱断面積および全断面積も同一となるか？
• RQ4 微小な時空的分離の極限において、標準的な局所的可換性条件は非可換バージョンと同等となるか？
• RQ5 可換系において局所的可換性を仮定しない場合でも、Wightman関数の等価性が$S$行列の等価性を意味するか？

主な発見

• Reeh-Schlieder定理、場演算子の不可約性、一般化されたHaagの定理は、$SO(1,1)$-不変量子場理論、特に$\theta^{0i} = 0$である非可換QFTにおいて成立することが証明された。
• $SO(1,3)$-不変理論では、2つの場の4点Wightman関数が等しいと、すべての運動量配置においてそれらの弾性散乱断面積が等しくなる。
• 断面積の等価性と光学定理の結果として、2つの理論の全断面積は同一である。
• 1つの理論が自明な$S$行列（つまり自由理論）を持つならば、4点Wightman関数が等しければ、他方の理論も自由理論でなければならない。
• 可換系において、基本的長さ$l$で制限された空間的分離に限定しても、局所的可換性条件の等価性が成り立ち、$l \to 0$の極限で完全な局所的可換性が得られる。
• Wightman関数から散乱断面積を導出する際には、局所的可換性条件は必要ではなく、代わりにLSZ還元公式と$x^0, x^3$における解析性に依存する。