[論文レビュー] Classical vs Quantum Advice and Proofs Under Classically-Accessible Oracle

Xingjian Li, Qipeng Liu+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2023

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 2

ひとこと要約

この論文は、BQP/qpoly が BQP/poly を厳密に含み、QMA が QCMA を厳密に含むことを示す古典的アドバイスと証明の間の分離を示す、古典的にアクセス可能な古典的オラクルを構築する。著者たちは、擬似乱数関数と統計的不可分性に基づく革新的な技法を用いて、古典的オラクルアクセスに制限された場合でも、古典的アルゴリズムが量子の優位性をシミュレートできないことを示し、この設定における初めてのこのような分離を提供するとともに、最近の Natarajan と Nirkhe の結果に基づく、分布的オラクル下での QMA と QCMA の分離の別証明を提示する。

ABSTRACT

It is a long-standing open question to construct a classical oracle relative to which BQP/qpoly $ eq$ BQP/poly or QMA $ eq$ QCMA. In this paper, we construct classically-accessible classical oracles relative to which BQP/qpoly $ eq$ BQP/poly and QMA $ eq$ QCMA. Here, classically-accessible classical oracles are oracles that can be accessed only classically even for quantum algorithms. Based on a similar technique, we also show an alternative proof for the separation of QMA and QCMA relative to a distributional quantumly-accessible classical oracle, which was recently shown by Natarajan and Nirkhe.

研究の動機と目的

• 古典的オラクル下での BQP/qpoly が BQP/poly を厳密に含み、QMA が QCMA を厳密に含むかどうかという長年の未解決問題を解消すること。
• 量子アルゴリズムがオラクルを古典的入出力のみでアクセスできる、古典的にアクセス可能な古典的オラクルを構築すること。このオラクル下で、量子アドバイスと量子証明が古典的対応物に対して明確な優位性を示すことを目的とする。
• Natarajan と Nirkhe の最近の結果に基づき、分布的量子的にアクセス可能な古典的オラクル下での QMA と QCMA の分離を、新たな証明技法を用いて再構築すること。
• ボブがアリスの入力を古典的にクエリできる場合でも、古典的一方向通信複雑性が依然として超多項式のままであることを示し、従来の通信複雑性の障壁を回避すること。

提案手法

• 統計的制約の下で、(Hn, rn) が一様分布から区別できないような、関数族 Hn: [n] × Σ → {0,1} と文字列 rn ∈ {0,1}^n の分布を構築する。
• 量子アルゴリズムが量子アドバイスを用いて、オラクルを古典的アクセスのみで使用して高確率で解ける言語 L を定義するが、任意の古典的アルゴリズムが古典的アドバイスを用いては高確率で失敗するようにする。
• ハイブリッド法とマルコフの不等式を用いて、任意の古典的 QCMA マシンの成功確率を抑え、すべての入力長で成功確率がゼロであることを示す。
• 量子アルゴリズムが振幅増幅と位相推定を用いて量子アドバイスを利用して解を計算できる一方、古典的アルゴリズムはオラクル分布の統計的不可分性によりこれをシミュレートできないことを活用する。
• 可算個の QCMA マシンに対して対角化的議論を適用し、いかなるマシンもすべての入力長で正の確率で成功することはできないことを示す。
• 古典的クエリ下で Hn をランダム関数から区別するのが難しいことを利用して、古典的アルゴリズムが、オラクルに古典的アクセスが許可されても、必要な構造を学習できないことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BQP/qpoly が BQP/poly を厳密に含むような、古典的にアクセス可能な古典的オラクルを構築できるか？
• RQ2 古典的にアクセス可能な古典的オラクルの下で、量子アドバイスが古典的アドバイスよりも明確な優位性を示すか？
• RQ3 QMA と QCMA の分離を、古典的にアクセス可能な古典的オラクルの下で確立できるか？
• RQ4 ボブの入力がアリスの入力よりも指数的に小さい場合に、古典的クエリが許可される一方向通信複雑性において、古典的プロトコルと量子プロトコルの間で分離が生じるか？
• RQ5 分布的オラクル下での最近の QMA 対 QCMA 分離を、より一般的な別の技法を用いて再現できるか？

主な発見

• BQP/qpoly が BQP/poly を厳密に含むような、古典的にアクセス可能な古典的オラクル O が存在する。これは、古典的オラクルアクセスの設定における長年の未解決問題を解決する。
• この分離は、量子アドバイスを用いた量子アルゴリズムが決定可能だが、古典的アドバイスを用いたいかなる古典的アルゴリズムでも決定不可能な言語 L の構築によって達成される。両者とも同じ古典的オラクルにアクセス可能である。
• 構築されたオラクル分布下で、任意の古典的 QCMA マシンがすべての入力長で成功する確率はゼロである。これは、L ∉ QCMA^O が確率 1 で成り立つことを示している。
• 本論文は、Natarajan と Nirkhe の手法とは異なる技法を用いて、分布的量子的にアクセス可能な古典的オラクル下での QMA 対 QCMA 分離についての別証明を提供する。
• 一方向通信複雑性において、超多項式の分離が新たに確立された：量子プロトコルは多項式通信量で十分であるが、古典的プロトコルは超多項式の通信量を要する。これは、ボブがアリスの入力を古典的にクエリできる場合でも成り立つ。
• 結果として、アーロンソンの定理 7.1（通信複雑性の障壁）は、全関数ではなく関係（relations）を扱うことで回避可能であることが示された。これにより、より強い分離が可能になる。