[論文レビュー] Classical Widely Linear Estimation of Real Valued Parameter Vectors in Complex Valued Environments

Oliver Lang, Mario Huemer|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2017

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ひとこと要約

本稿では、複素数測定値から実数パラメータベクトルを推定するための広義線形古典的推定器—WLLSおよびBWLUE—を提案する。標準推定器では生じる系統的バイアスを回避する。WLLS推定器はノイズ統計を必要とせず、実数の推定値を生成するが、BWLUEは2次モーメント統計を活用して優れた性能を達成する。両者とも標準のLSおよびBLUE手法を上回り、実数領域におけるパrameter次元の低減により測定数を半分に削減する。

ABSTRACT

This work investigates the task of estimating a real valued parameter vector based on complex valued measurements in a classical set-up. The application of standard estimators in general results in complex valued estimates of the real valued parameter vector. To avoid this systematic error, widely linear classical estimators that produce real valued estimates are investigated. One of these estimators is the widely linear least squares (WLLS) estimator proposed in this work, which does not utilize any noise statistics. Further, we introduce the best widely linear unbiased estimator (BWLUE) for real valued parameter vectors. The proposed estimators in general outperform their standard counterparts LS estimator and BWLUE, respectively, and they only require half as many complex valued measurements. We compare the novel approaches to standard classical estimators in two application scenarios. One of these applications considers the estimation of a real valued impulse response based on noisy measurements of the system's magnitude and phase response. For this problem, we propose a novel two-step approach based on the introduced widely linear concepts that outperforms standard estimators.

研究の動機と目的

• 実数パラメータベクトルに対して複素数の推定値を生成する標準的古典的推定器（例：LS、BLUE）に生じる系統的バイアスを解消する。
• パラメータベクトルの実数性を組み込むことで、実数の推定値を強制する広義線形推定器の開発。
• ノイズ統計を必要としない推定器（WLLS）と統計的に最適な推定器（BWLUE）を、複素数測定モデルにおける実数パラメータに適用する。
• 実際の応用、特にノイズのある位相および振幅応答からのインパルス応答推定において、性能向上を示す。
• WLLSとBWLUEを組み合わせた新規な2段階アプローチを導入し、非線形周波数応答問題における推定精度を向上させる。

提案手法

• 増幅複素モデルと2次モーメント統計を用いて、実数パラメータベクトルの最良広義線形不偏推定器（BWLUE）を導出する。
• ノイズ統計を必要とせず、複素空間における広義線形射影により実数の推定値を生成する、広義線形最小二乗（WLLS）推定器を提案する。
• 複素測定値とその共役を両方活用するため、WLLS推定器を増幅形式に定式化する。
• 2段階推定アプローチを導入：まずWLLSを用いてノイズ統計を推定し、次にその近似統計を用いてBWLUEを適用する。
• 増幅複素モデルを用いて、元の複素測定値の構造を保ちながら、実数パラメータ推定問題を表現する。
• 2つの状況に推定器を適用する：(1) ノイズのある測定値からの複素指数関数の振幅推定、(2) ノイズのある振幅および位相周波数応答からの実数パラメータインパルス応答の再構成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素数測定モデルにおける実数パラメータベクトルに対して、実数の推定値を生成する広義線形推定器をどのように設計できるか？
• RQ2 提案されたBWLUEおよびWLLS推定器は、標準のLSおよびBLUE推定器と比較して、バイアスおよび平均二乗誤差の観点でどの程度の性能向上を達成するか？
• RQ3 WLLSとBWLUEを組み合わせた2段階アプローチは、非線形周波数応答再構成問題において直接推定を上回る性能を達成できるか？
• RQ4 WLLS推定器は、標準推定器と比較して、計算複雑性および測定要件をどの程度低減できるか？
• RQ5 ノイズ統計が不明または正確にモデル化が困難な状況下で、提案された推定器はどの程度の性能を示すか？

主な発見

• 全テスト信号対ノイズ比において平均BMSEの観点で、BWLUEはWLLS推定器およびIDFT法を著しく上回る。
• WLLSによるノイズ統計推定とBWLUEによる最終推定を組み合わせた2段階アプローチは、理論的性能限界にほぼ達する性能を達成する。
• WLLS推定器は、特に振幅ノイズ分散が低い場合に、標準のLSおよびIDFT法よりも低いBMSEを達成する。
• 位相ノイズ分散が低い場合、BWLUEおよび2段階アプローチは性能限界にほぼ達し、現実的条件下でのほぼ最適推定を示す。
• WLLS推定器は、推定すべき実数パラメータの数が減少するため、標準のLSまたはBWLUEと比較して、複素数測定値の数を半分に削減できる。
• 提案された推定器は、実数パラメータベクトルに対して複素数の推定値を生成する標準的古典的推定器に内在する系統的バイアスを完全に排除する。