[論文レビュー] Classicality and connectedness for state property systems and closure spaces

Diederik Aerts, Didier Deses+1 more|ArXiv.org|Apr 12, 2004

Advanced Algebra and Logic参考文献 1被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、状態性質系と閉包空間の間の圏同値を確立し、閉包空間における連結性を用いて任意の状態性質系を純粋な非古典的成分と完全に古典的な部分系に分解する。主な貢献は、位相的連結成分を介して量子的類似の非古典的振る舞いと古典的構造を分離する分解定理である。

ABSTRACT

It has been shown that there is a categorical equivalence between the category SPS of state property systems and the category Cl of closure spaces. In this note we prove, using this equivalence between categories, that the concept of connectedness for closure spaces can be used to formulate a decomposition theorem, which allows us to split a state property system into a number of 'pure nonclassical state property systems' and a 'totally classical state property system'.

研究の動機と目的

• 物理系における古典的および非古典的振る舞いの区別を、状態性質系を用いて形式化すること。
• 状態性質系と閉包空間の間の圏同値を活用し、位相的概念を物理的構造に翻訳すること。
• 超選別規則と閉包空間における連結性を用いて、古典的性質を定義および特徴付けること。
• 任意の状態性質系を純粋な非古典的部分系と完全に古典的な部分系に分解すること。
• ゼロ次元の閉包構造と古典的性質を用いて、状態性質系の古典的部品を抽出すること。

提案手法

• 状態性質系（SPS）の圏と閉包空間（Cl）の圏の間の圏同値を、関手 F と G を用いて確立する。
• 閉包空間における連結性を定義し、最大連結成分を用いて状態空間を分割する。
• 圏同値を適用して、各連結成分を純粋な非古典的状態性質系に写像する。
• 状態空間を連結成分に分割することで商閉包空間を構成し、完全に非連結な空間を得る。
• この商空間を用いて、逆関手 G を介して完全に古典的な状態性質系を定義し、性質が閉包集合（clopen set）に対して閉じていることを保証する。
• すべての古典的性質の共通部分をとることで、系の古典的部品を抽出し、ゼロ次元の閉包空間を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉包空間における連結性は、どのようにして状態性質系を非古典的および古典的部品に分解するために用いられるか？
• RQ2 状態性質系と閉包空間の間の圏的関係は何か？ そして、この関係は構造的解析をどのように可能にするか？
• RQ3 状態性質系における古典的性質を定義づける条件は何か？ また、超選別規則とどのように関係するか？
• RQ4 トポロジー的およびラティス理論的手法を用いて、状態性質系の古典的部品を体系的に抽出する方法は何か？
• RQ5 最大連結成分は、純粋な非古典的および古典的部分系への状態性質系の分解において果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の状態性質系は、関連する閉包空間の連結成分によってインデックス付けられた、純粋な非古典的状態性質系の族に分解可能である。
• 状態空間をその連結成分で割った商は、完全に非連結な閉包空間をもたらし、これは完全に古典的な状態性質系に対応する。
• 状態性質系の古典的部品は、閉包集合の共通部分によって形成されるゼロ次元の閉包空間に付随する状態性質系と同型である。
• ある性質が古典的であるための必要十分条件は、その補集合が存在し、その和（join）が上部要素、交わり（meet）が下部要素となることである。
• 系における古典的性質は、閉包空間が位相空間であることと同値である。すなわち、すべての性質の和が、それらの実現集合の和集合に対応すること。
• この分解は標準的である。純粋な非古典的部品は、自明なものを除き、真の古典的部分構造を含まない最小性を持つ。