[論文レビュー] Classically Approximating Variational Quantum Machine Learning with Random Fourier Features

Jonas Landman, Slimane Thabet+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2022

Stochastic Gradient Optimization Techniques被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、指数的に大きな量子特徴空間から主要な周波数をサンプリングすることで、変分量子回路（VQCs）を近似する古典的サンプリング手法として、ランダムフーリエ特徴（RFF）を提案する。実験では、特にVQCスペクトルに冗長性がある場合、少数の好ましいスケーリングを持つサンプルでさえも、合成データおよび実データの両方でVQCsと同等またはそれ以上の性能を示す。これは、多くの場合において量子優位性の仮定に疑問を呈する。

ABSTRACT

Many applications of quantum computing in the near term rely on variational quantum circuits (VQCs). They have been showcased as a promising model for reaching a quantum advantage in machine learning with current noisy intermediate scale quantum computers (NISQ). It is often believed that the power of VQCs relies on their exponentially large feature space, and extensive works have explored the expressiveness and trainability of VQCs in that regard. In our work, we propose a classical sampling method that may closely approximate a VQC with Hamiltonian encoding, given only the description of its architecture. It uses the seminal proposal of Random Fourier Features (RFF) and the fact that VQCs can be seen as large Fourier series. We provide general theoretical bounds for classically approximating models built from exponentially large quantum feature space by sampling a few frequencies to build an equivalent low dimensional kernel, and we show experimentally that this approximation is efficient for several encoding strategies. Precisely, we show that the number of required samples grows favorably with the size of the quantum spectrum. This tool therefore questions the hope for quantum advantage from VQCs in many cases, but conversely helps to narrow the conditions for their potential success. We expect VQCs with various and complex encoding Hamiltonians, or with large input dimension, to become more robust to classical approximations.

研究の動機と目的

• 変分量子回路（VQCs）の表現力が機械学習タスクにおいて、古典的手法で効果的に近似可能かどうかを調査すること。
• VQCsが古典モデルよりも真の優位性を示す条件を特定すること。
• 量子実行を必要とせず、VQCアーキテクチャのみを用いて、実用的な古典的近似手法（RFFベース）を構築・評価すること。
• 近似精度が入力次元、符号化ハミルトニアン構造、スペクトルの冗長性といった主要なVQC特性にどのように依存するかを分析すること。
• RFFを用いたVQCs近似の効率性について、理論的境界と実験的妥当性を提供すること。

提案手法

• VQCsがフーリエ級数として表現可能であり、そのスペクトル成分が符号化ゲートと回路ユニタリから導かれるという事実を利用している。
• 3種類の異なるRFFサンプリング戦略を提案：ツリー・サンプリング、ディスティンクト・サンプリング、グリッド・サンプリング。それぞれがVQCs内の異なるスペクトル構造に最適化されている。
• 符号化ハミルトニアンから抽出した周波数を用いて、量子回路を実行せずに古典的カーネル近似を構築する。
• 理論的境界を導出し、量子スペクトルのサイズが大きくなるに従い、必要なRFFサンプル数が好ましくスケーリングされることを示している。特に、冗長性が高い場合には顕著である。
• 古典的最適化を用いてRFFベースのカーネルモデルを訓練し、同じデータセット上で量子学習済みVQCsと直接比較可能である。
• 人工的および実世界のデータセットを用いた実験的評価により、RFF近似と元のVQCsの一般化性能およびサンプル効率を比較した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムフーリエ特徴（RFF）に基づく古典的カーネルモデルは、有界誤差と少数のサンプルで、変分量子回路（VQCs）が学習する関数を近似可能か？
• RQ2 必要なRFFサンプル数は、入力次元、回路深さ、スペクトル冗長性といった主要なVQC特性にどのようにスケーリングされるか？
• RQ3 符号化ハミルトニアンが非対角化可能である場合に、VQCsが古典的RFF近似よりも依然として潜在的な優位性を示す領域はどこか？
• RQ4 スペクトル内の非ゼロ係数を持つ周波数のサブセットに制限されるが、VQCsの有効な表現力は、理論的潜在能力とどの程度一致するか？
• RQ5 実際の応用において、古典的RFF手法がVQCsを上回る可能性はどの程度高く、どのような条件下で達成されるか？

主な発見

• RFF近似は、合成データおよび実データの両方でVQCsと同等またはそれ以上の性能を示し、極めて少ないサンプル数で強力な実験的性能を発揮する。
• 必要なRFFサンプル数は、量子スペクトルのサイズに伴い好ましくスケーリングされ、一部のケースではスペクトルの0.001%未満で良好な近似が達成される。
• VQCスペクトルに高い冗長性がある場合、計算コストが最も低いツリー・サンプリングが、少ないサンプル数で優れた近似を達成する。
• ディスティンクト・サンプリングおよびグリッド・サンプリング戦略は、スペクトル内で冗長性が低い周波数を学習する際に、ツリー・サンプリングが失敗する場合にVQCsを上回る。
• 理論的境界は、サンプル複雑度の好ましいスケーリングを示唆しているが、高コスト係数のため、小規模な実験では即時の実用的意義は限定的である。
• 結果は、符号化ゲートが単純または対角化可能な場合、特に古典的データ学習においてVQCsの量子優位性の仮定を疑問視するものである。