[論文レビュー] Classification and Construction of Topological Phases of Quantum Matter

Charles Zhaoxi Xiong|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2019

Topological Materials and Phenomena被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、一般化コホモロジー理論を用いて、量子物質における対称性保護型トポロジカル（SPT）相を分類および構成する統一的位相的枠組みを提示する。これにより、群（超）コホモロジー、cobordism、Kitaevの$Ω$-スペクトル手法といった先行提案が統一される。この手法により、複雑な空間群対称性を有する3次元フェルミオン系およびボソン系SPT相の体系的分類が可能となり、スペクトル系列を用いて新たなトポロジカル不変量が導出される。

ABSTRACT

We develop a theoretical framework for the classification and construction of symmetry protected topological (SPT) phases, which are a special class of zero-temperature phases of strongly interacting gapped quantum many-body systems that exhibit topological properties. The framework unifies various proposals for the classification of SPT phases, including the group (super-)cohomology proposal, the (spin-)cobordism proposal, the Freed-Hopkins proposal, and the Kitaev proposal. The power of the framework is demonstrated in a number of applications: (1) the classification and construction of 3D fermionic SPT phases in Wigner-Dyson classes A and AII with glide symmetry, (2) the classification and construction of 3D bosonic SPT phases with space-group symmetries for all 230 space groups, (3) the derivation of a Mayer-Vietoris sequence relating the classification of SPT phases with and without reflection symmetry, and (4) an interpretation of the structure of general crystalline SPT phases via the Atiyah-Hirzebruch spectral sequence. The framework is based on Kitaev's idea that short-range entangled states form what are known as $Ω$-spectra in the sense of algebraic topology, and models the classification of SPT phases by what are called generalized cohomology theories.

研究の動機と目的

• 強相関する量子系における対称性保護型トポロジカル（SPT）相を分類するための、これまでに分散していた理論的提案を統一すること。
• 任意の空間群および点群対称性（非空間群的を含む）を有するSPT相を構築する一般化可能な手法を開発すること。
• 3次元において、局所対称性にとどまらず結晶対称性およびグライド対称性を含めたSPT相の分類を拡張すること。
• アティヤ＝ヒルツェブルのスペクトル系列やメイヤー＝ビートリス系列といった代数的位相幾何学的手法を統合した、厳密な位相的枠組みを確立すること。
• ボソン系における230個の空間群すべてを用いて、Wigner-DysonクラスAおよびAIIに属するSPT相を体系的に構成すること。

提案手法

• Kitaevの$Ω$-スケール構成をインスピレーションとして、短距離相関のSPT相の分類を一般化コホモロジー理論でモデル化する。
• 結晶的SPT相の構造を解析し、トポロジカル不変量を導出するために、アティヤ＝ヒルツェブルのスペクトル系列を適用する。
• 反射対称性の有無にかかわらずのSPT分類を関連付けるために、メイヤー＝ビートリス系列を用い、対称性拡張型トポロジカル不変量を可能にする。
• 群（超）コホモロジー、スピン・コボルディズム、Freed-Hopkinsの手法を、一つのコホモロジー的枠組みに統合する。
• ホモトピー論的技法を用いて、フェルミオン系およびボソン系の複雑な空間群対称性を有するSPT相の明示的モデルを構築する。
• スペクトル系列の計算を通じてトポロジカル不変量を導出し、代数的位相幾何学と物理的SPT分類を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群コホモロジー、コボルディズム、Kitaevの$Ω$-スケールといった、分散したSPT相分類スキームが、どのように一つの理論的枠組みに統一できるか。
• RQ2 Wigner-DysonクラスAおよびAIIに属する3次元フェルミオン系SPT相で、グライド対称性を有する場合の完全な分類は何か。
• RQ3 230個のすべての空間群を、空間群対称性を有する3次元ボソン系SPT相を体系的に分類するためにどのように用いることができるか。
• RQ4 SPT相において、反射対称性と他の空間群対称性との相互作用から生じるトポロジカル不変量は何か。
• RQ5 アティヤ＝ヒルツェブルのスペクトル系列は、一般の結晶的SPT相の分類をどのように構造化するか。

主な発見

• この枠組みにより、群（超）コホモロジー、（スピン）コボルディズム、Freed-Hopkins、Kitaevの提案が、一般化コホモロジー理論に基づく一つの分類に統一された。
• Wigner-DysonクラスAおよびAIIに属する3次元フェルミオン系SPT相でグライド対称性を有する場合の完全な分類が得られ、明示的なトポロジカル不変量が導出された。
• 230個すべての空間群を用いて、3次元ボソン系SPT相を体系的に分類し、各群に対してトポロジカル不変量の完全な列挙がなされた。
• 反射対称性の有無にかかわらずのSPT分類を関連付けるメイヤー＝ビートリス系列が導出され、対称性拡張型相に対してトポロジカル制約が明らかになった。
• アティヤ＝ヒルツェブルのスペクトル系列が、一般の結晶的SPT相の構造を体系的かつ計算可能な枠組みで理解するのに有効であることが示された。
• コホモロジー的データを用いて、非空間群的対称性を含む複雑な対称性群を有するSPTモデルの明示的構成が可能になった。