[論文レビュー] Classification of black holes in three dimensional spacetime by the $W_{1+\infty}$ symmetry

Jingbo Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、3次元ブラックホールの近視界対称性代数が、量子ホール効果の量子対称性である$W_{1+\infty}$代数の部分代数であることを示している。$W_{1+\infty}$の量子数によるブラックホールの分類を通じて、ブラックホールの半径が量子化されていることを示し、ブラックホールがトポロジカル絶縁体として見なせる新たな証拠を提供する。

ABSTRACT

The BMS symmetry and related near horizon symmetry play important roles in holography in asymptotically flat spacetimes. They may also be crucial for solving the information paradox. But we still don't fully understand those infinite-dimensional symmetries. On the other hand, $W_{1+\infty}$ symmetry is the quantum version of area-preserving diffeomorphism of a plane. It is a dynamical symmetry of quantum Hall liquid and can be used to classify the quantum Hall universality classes. In this paper, we will show that the near horizon symmetry can be obtained from the $W_{1+\infty}$ symmetry. Based on this result, the black holes in three dimensional spacetime can be classified just as in the quantum Hall liquid. It also gives the result that the radius of black hole are quantized. This gives another evidence that our early claim "black hole can be considered as a kind of topological insulator" is correct.

研究の動機と目的

• 3次元ブラックホールの近視界対称性と、量子ホール系の$W_{1+\infty}$代数との間の関係を確立すること。
• ブラックホールの無限次元的対称性が、量子ホール液体と同様に面積保存微分同相変換から生じるのかを調査すること。
• 量子ホール系の普遍性クラスの分類に類似した方法で、$W_{1+\infty}$代数の量子数を用いてブラックホールを分類すること。
• ブラックホールの対称性構造とトポロジカル量子物質のそれとを結びつけることで、ブラックホールがトポロジカル絶縁体であるという主張をさらに裏付けること。
• $W_{1+\infty}$対称性がブラックホールのエントロピー、量子化された半径、および情報パラドックスに与える影響を、'Wヘア'を通じて探ること。

提案手法

• 3次元ブラックホールの近視界対称性代数を、Witt代数（$Y_n$）とアーベル的電流（$T_n$）の半直積として特定し、交換関係$[Y_m, Y_n] = (m-n)Y_{m+n}$、$[Y_m, T_n] = -nT_{m+n}$、$[T_m, T_n] = 0$を示す。
• 量子ホール系の$W_{1+\infty}$生成子関係において$T_n = L^{(0)}_n$および$Y_n = L^{(1)}_n$を特定することで、この代数が$W_{1+\infty}$代数の部分代数に同型であることを示す。
• $W_{1+\infty}$代数の構造を用いて、$L^{(0)}_0$と$L^{(1)}_0$の固有値としての量子数$Q$と$J$を定義し、量子ホール系における準粒子の電荷とスピンに対応させる。
• $L^{(0)}_0$をエントロピーに一致するように再スケーリングすることで、$W_{1+\infty}$生成子と物理的ブラックホールパラメータを関係付ける。ここで$K = \text{diag}(2k, -2k)$および$k = l/(4G)$を用いる。
• 方程式$n_1 = \frac{1}{4G}(r_+ + r_-)$、$n_2 = \frac{1}{4G}(r_+ - r_-)$を解くことで、ブラックホール半径の量子化条件を導出する。その結果、$r_+ = 2(n_1 + n_2)L_{PL}$、$r_- = 2(n_1 - n_2)L_{PL}$が得られる。
• 得られた整数量子数$(n_1, n_2)$を'Wヘア'として解釈し、一般化されたソフトヘアと関連づけ、ブラックホールにおける情報の記憶メカニズムを示唆する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元ブラックホールの近視界対称性代数は、$W_{1+\infty}$代数に部分代数として埋め込まれるか？
• RQ2 量子ホール系における$W_{1+\infty}$対称性は、ブラックホールの視界の力学とどのように関係するか？
• RQ3 ブラックホール分類の文脈において、$W_{1+\infty}$代数から導かれる量子数$n_1$と$n_2$の物理的解釈は何か？
• RQ4 近視界代数から$W_{1+\infty}$対称性が出現することは、ブラックホール半径が量子化されていることを示唆するか？
• RQ5 $W_{1+\infty}$によって生成される量子数は、ブラックホール情報パラドックスを解消するメカニズムとして機能するか？

主な発見

• 3次元ブラックホールの近視界対称性代数は、$T_n = L^{(0)}_n$および$Y_n = L^{(1)}_n$を満たす$W_{1+\infty}$代数の部分代数である。
• 3次元時空におけるブラックホールは、$W_{1+\infty}$代数を用いて分類可能であり、分類ラベルは整数量子数$n_1$と$n_2$で与えられる。
• ブラックホール半径は量子化されており、$r_+ = 2(n_1 + n_2)L_{PL}$および$r_- = 2(n_1 - n_2)L_{PL}$を満たす。ここで$L_{PL} = G$はプランク長さである。
• 量子数$n_1$と$n_2$は、それぞれ$L^{(0)}_0$と$L^{(1)}_0$の固有値に対応し、量子ホール系のアナロジーにおいて準粒子の電荷とスピンとして解釈される。
• $W_{1+\infty}$対称性は、'Wヘア'—一般化されたソフトヘア—を提供する枠組みを提供し、ブラックホール情報パラドックスの解決策としての可能性を示唆する。
• この結果は、ブラックホールがトポロジカル絶縁体であるという主張を支持しており、その対称性および分類構造が、量子ホール系と類似しているからである。