[論文レビュー] Classification of catalytic branching processes and structure of the criticality set

E. Vl. Bulinskaya|arXiv (Cornell University)|Feb 14, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、遷移率および分岐機構から導かれるN×N行列のペロン根に基づき、N個の触媒を有する触媒分岐過程（CBP）を、上昇的、臨界的、下降的の3つに分類する手法を提案する。打撃時間（禁制付き）と補助的多型ベルマン＝ハリス過程の構築を用いることで、先行研究の単一触媒および分岐ランダムウォークモデルを一般化・強化したモーメントに基づく分類を確立した。臨界性集合Cは、触媒パラメータが長期的挙動に与える影響を特徴づける。

ABSTRACT

We study a catalytic branching process (CBP) with any finite set of catalysts. This model describes a system of particles where the movement is governed by a Markov chain with arbitrary finite or countable state space and the branching may only occur at the points of catalysis. The results obtained generalize and strengthen those known in cases of CBP with a single catalyst and of branching random walk on d-dimensional integer lattice with a finite number of sources of particles generation. We propose to classify CBP with N catalysts as supercritical, critical or subcritical according to the value of the Perron root of a specified NxN matrix. Such classification agrees with the moment analysis performed here for local and total particles numbers. By introducing the criticality set C we also consider the influence of catalysts parameters on the process behavior. The proof is based on construction of auxiliary multi-type Bellman-Harris processes with the help of hitting times under taboo and on application of multidimensional renewal theorems. Keywords and phrases: catalytic branching process, classification, hitting times under taboo, moment analysis, multi-type Bellman-Harris process.

研究の動機と目的

• 複数の触媒を有する触媒分岐過程（CBP）を、上昇的、臨界的、下降的の3つに体系的に分類すること。
• プロセスの長期的挙動に与える触媒パラメータの影響を特徴づける臨界性集合Cを特定すること。
• 分散が有限な単一触媒CBPおよびZ^d上での分岐ランダムウォークモデルに関する既存結果を一般化・精緻化すること。
• 基礎となるマルコフ過程および子孫分布に対する最小限の仮定のもとで、局所的および全粒子数のモーメント解析を厳密に確立すること。
• 粒子数の指数的増加の必要十分条件を特定し、先行研究におけるギャップを解消すること。

提案手法

• システムのダイナミクスをモデル化するため、最大N(N+1)+1種類の粒子タイプを有する補助的多型ベルマン＝ハリス過程を構築する。
• 禁制付き打撃時間を利用して、触媒サイト間の通過時間を分析し、CBPをマルコフ再生過程フレームワークに埋め込む。
• N×N行列D(λ)を定義し、そのペロン根が臨界性の種別を決定する：ρ>1（上昇的）、ρ=1（臨界的）、ρ<1（下降的）。
• 多次元再生定理を適用して、局所的および全粒子数のモーメントの漸近的挙動を導出する。
• 臨界性条件det(D(λ) - I) = 0と、指数的増加に適した正の解λの存在との同値性を確立する。
• 母関数およびグリーン関数を用いて、行列D(λ)を基礎となるマルコフ連鎖の初到達およびポテンシャル測度に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の触媒を有する触媒分岐過程における上昇的／臨界的／下降的分類の適切な一般化は何か？
• RQ2 複数の触媒のパラメータ（分岐率、滞在時間、子孫分布）が、粒子系の長期的存続または絶滅に与える影響はどのように相乗的に作用するか？
• RQ3 最小限のモーメント仮定のもとでも、N個の触媒を有するCBPについて統一的なモーメントベース分類を確立できるか？
• RQ4 多触媒系における粒子数の指数的増加の明確な条件は何か？また、遷移行列の固有値特性とどのように関係するか？
• RQ5 臨界性集合C（ρ=1を満たす触媒パラメータ設定の集合）は、絶滅と爆発の境界をどのように特徴づけるか？

主な発見

• N個の触媒を有するCBPの分類は、特定のN×N行列Dのペロン根ρによって決定される。ρ>1のとき上昇的、ρ=1のとき臨界的、ρ<1のとき下降的である。
• 臨界性集合Cは、ペロン根ρが1に等しい触媒パラメータ設定の集合として特徴づけられ、絶滅と指数的増加の境界を明確に示す。
• 局所的および全粒子数のモーメント解析により、すべてのモーメントの漸近的挙動がρの値によって支配されることを示し、提案された分類の妥当性を裏付けた。
• Z^d上での複数の源を有する分岐ランダムウォークの特別な場合について、指数的増加の必要十分条件を提供し、[33]で残された未解決問題を解消した。
• 先行研究[14]および[31]の結果を一般化・精緻化し、特に子孫分布に対する高次モーメント仮定の必要性を回避した。
• 補題5および定理1を用いて、臨界性条件det(D(λ) - I) = 0と、指数的増加に適した正の解λの存在との同値性を形式的に確立した。