[論文レビュー] Classification of complete Finsler manifolds through a second order differential equation

Azam Asanjarani, Behroz Bidabad|ArXiv.org|Oct 15, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、適切な座標を用いて完全なフィン슬ァー多様体を分類するため、カルタン水平共変微分を含む2階微分方程式を導入し、スカラー関数ρの臨界点の数に基づいて、その多様体が自己相似性を持つ積空間、ユークリッド空間、またはn次元球面に共形であることを証明する。また、ランダース型でもなく、射影的に平坦でもない、正の定数旗曲率を持つ新しいフィン슬ァー計量の例を構成する。

ABSTRACT

By using a certain second order differential equation, the notion of adapted coordinates on Finsler manifolds is defined and some classifications of complete Finsler manifolds are found. Some examples of Finsler metrics, with positive constant sectional curvature, not necessarily of Randers type nor projectively flat, are found. This work generalizes some results in Riemannian geometry and open up, a vast area of research on Finsler geometry.

研究の動機と目的

• 2階微分方程式に基づくリーマン幾何における分類技法をフィン슬ァー幾何に拡張すること。
• カルタン水平共変微分方程式を用いてフィン슬ァー多様体上に適切な座標を定義すること。
• スカラー関数ρの臨界点の数に基づいて完全なフィン슬ァー多様体を分類すること。
• ランダース型でもなく、射影的に平坦でもない、正の定数旗曲率を持つ新しいフィン슬ァー計量の例を構成すること。
• 共形同値性と曲率分類を用いて、リーマン幾何の結果をフィン슬ァー幾何に一般化すること。

提案手法

• フィン슬ァー多様体(M,g)上でのカルタン水平共変微分∇ᴴを用いて、2階微分方程式∇ᴴ∇ᴴρ = φgを導入する。
• 微分方程式の解を用いて、リーマン幾何におけるノーマル座標に類似した適切な座標を定義する。
• 微分方程式を用いて、臨界点の数（0個、1個、2個）に基づいて完全なフィン슬ァー多様体を分類する。
• 高次元における計量の極座標形を用い、ds² = dt² + (sin Kt)²K²ḡαβ duα duβとして、球面上の計量を構成する。
• 測地線に沿った方程式の簡略化により、d²ρ/dt² = K²ρが得られ、三角関数解ρ(t) = a cos(Kt) + bが得られる。
• 一定の旗曲率を持つ超曲面ρ = 定数から、ℝⁿ⁺¹上に正の定数曲率を持つフィン슬ァー計量を、上昇（lift）することにより構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2階微分方程式∇ᴴ∇ᴴρ = φgは、完全なフィン슬ァー多様体を分類するためにどのように利用可能か？
• RQ2 スカラー関数ρが臨界点を0個、1個、または2個持つ場合、フィンスラー幾何においてどのような幾何的構造が現れるか？
• RQ3 ランダース型でもなく、射影的に平坦でもない、正の定数旗曲率を持つフィンスラー計量を構成することは可能か？
• RQ4 カルタン水平共変微分は、フィンスラー幾何における適切な座標の定義と曲率分類において、どのように機能するか？
• RQ5 一定曲率を持つ超曲面上のフィンスラー計量は、どのようにして高次元のフィンスラー多様体に正の定数曲率を持つ計量へと上昇可能か？

主な発見

• 非自明な解を有する完全なフィンスラー多様体Mが∇ᴴ∇ᴴρ = φgを満たす場合、ρに臨界点が存在しないならば、Mは積空間J × M̄に共形である。
• ρにちょうど1つの臨界点が存在する場合、多様体はn次元ユークリッド空間に共形である。
• ρにちょうど2つの臨界点が存在する場合、多様体はn次元単位球面に共形である。
• 正の定数曲率Kを持つℝⁿ⁺¹上のフィンスラー計量は、ds² = dt² + (sin Kt)²K²ḡαβ duα duβとして与えられ、これはn次元球面上の計量の極座標形である。
• 本手法により、ランダース型ではなく、射影的に平坦でもない、正の定数旗曲率を持つ新しいフィンスラー計量の例が得られる。
• 本手法は既知のリーマン幾何の結果を一般化し、高次元における定曲率を持つフィンスラー計量を構成する新たな道筋を提供する。