[論文レビュー] Classification of fractional quantum Hall states with spatial symmetries

Naren Manjunath, Maissam Barkeshli|arXiv (Cornell University)|Dec 21, 2020

Quantum and electron transport phenomena被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、連続的および結晶格子的空間対称性（U(1)電荷保存、磁気的並進、回転対称性を含む）を有する分数量子ホール（FQH）状態を分類するための統一的枠組みを、G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリ（G-crossed BTCs）を用いて開発する。この枠組みにより、ホール電導度、シフト、任意onsの分数量子数といった位相的不変量を導出し、ガリレオ不変性に依存しない対称性保護型位相秩序の形式において、電荷密度とホール電導度および磁束の関係を結ぶ一般化されたLieb-Schulz-Mattis制約を確立する。

ABSTRACT

Fractional quantum Hall (FQH) states are examples of symmetry-enriched topological states (SETs): in addition to the intrinsic topological order, which is robust to symmetry breaking, they possess symmetry-protected topological invariants, such as fractional charge of anyons and fractional Hall conductivity. In this paper we develop a comprehensive theory of symmetry-protected topological invariants for FQH states with spatial symmetries, which applies to Abelian and non-Abelian topological states, by using a recently developed framework of $G$-crossed braided tensor categories ($G imes$BTCs) for SETs. We consider systems with $U(1)$ charge conservation, magnetic translational, and spatial rotational symmetries, in the continuum and for all $5$ orientation-preserving crystalline space groups in two dimensions, allowing arbitrary rational magnetic flux per unit cell, and assuming that symmetries do not permute anyons. In the crystalline setting, applicable to fractional Chern insulators and spin liquids, symmetry fractionalization is fully characterized by a generalization to non-Abelian states of the charge, spin, discrete torsion, and area vectors, which specify fractional charge, angular momentum, linear momentum, and fractionalization of the translation algebra for each anyon. The topological response theory contains $9$ terms, which attach charge, linear momentum, and angular momentum to magnetic flux, lattice dislocations, disclinations, corners, and units of area. Using the $G imes$BTC formalism, we derive the formula relating charge filling to the Hall conductivity and flux per unit cell; in the continuum this relates the filling fraction and the Hall conductivity without assuming Galilean invariance. We provide systematic formulas for topological invariants within the $G imes$BTC framework; this gives, for example, a new categorical definition of the Hall conductivity.

研究の動機と目的

• 連続的および結晶格子的対称性を有する分数量子ホール（FQH）状態の包括的分類を、標準的な位相的秩序の枠組みを越えて開発すること。
• U(1)電荷保存および空間対称性の下で、任意onsの対称性保護型位相的不変量（分数電荷、角運動量、運動量分数量化）を特定・特徴付けること。
• ガリレオ不変性を仮定せず、G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリ（G-crossed BTC）を用いて、単位格子あたりの電荷密度とホール電導度および磁束の関係を示す一般化されたLieb-Schulz-Mattis定理を導出すること。
• アーベルおよび非アーベルFQH状態および分数チャーン絶縁体への分類を拡張し、欠陥（格子欠陥や歪み欠陥）の反応不変量を含めること。
• すべての方向を保存する2次元空間群およびその磁気的拡張について、G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリ方程式を体系的に解き、完全な位相的特徴付けを可能にすること。

提案手法

• G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリ（G-crossed BTC）の枠組みを用いて、グローバルおよびゲージ対称性を有する対称性強化位相秩序（SET）相を記述する。
• G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリの任意onsデータから、分数電荷、角運動量、運動量分数量化を含む、対称性分数量化不変量を導出する。
• 磁束、格子欠陥、歪み欠陥、コーナーなどの欠陥に対する有効応答理論を構築し、電荷、運動量、角運動量の位相的に保護された結合を特徴付ける。
• 群コホホロジー不変量の分類のためのLyndon-Hochschild-Serreスペクトル系列を用い、SET相およびSPT状態の分類を実行する。
• G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリ形式を用いて、ガリレオ不変性を仮定せず、電荷密度とホール電導度および単位格子あたりの磁束の関係を示す一般化された充填制約を導出する。
• すべての5つの方向を保存する2次元空間群およびその磁気的拡張について、G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリ方程式を体系的に解き、離散的回転および並進対称性を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的および結晶格子的空間対称性を有するFQH状態において、対称性保護型位相的不変量を体系的に分類する方法は何か？
• RQ2 U(1)および空間対称性を有するFQH状態を特徴付けるために、ホール電導度とシフトに加えて必要な完全な位相的不変量の集合は何か？
• RQ3 ガリレオ不変性に依存せず、G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリデータから、充填率、ホール電導度、および単位格子あたりの磁束の関係をどのように導出できるか？
• RQ4 離散的ねじれおよび運動量分数量化は、結晶格子的FQH状態において果たす役割は何か？非アーベル任意onsに一般化されるか？
• RQ5 欠陥反応（格子欠陥や歪み欠陥からのもの）は、FQH系における分数量子化された応答理論にどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、ガリレオ不変性を仮定せず、G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリデータのみを用いて、電荷密度とホール電導度および単位格子あたりの磁束の関係を結ぶ一般化されたLieb-Schulz-Mattis制約を導出する。
• 結晶格子的FQH状態では、任意onsの対称性分数量化が、一般化された電荷、スピン、離散的ねじれ、および面積ベクトルによって完全に特徴付けられ、これらは連続的系には存在しない。
• 分数量子化された応答理論には、電荷、角運動量、線形運動量の充填率に加え、量子化されたねじれ応答を含む合計9つの異なる不変量が含まれる。
• ホール電導度は、G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリの枠組み内で、連続的または対称性の仮定に依存しない任意onsデータから導かれる位相的不変量として再定義される。
• 本稿は、すべての5つの方向を保存する2次元空間群およびその磁気的拡張について、G-クロスドブレード付きテンソルカテゴリ方程式の完全な解を提供し、このようなSET相の完全な分類を可能にする。
• 本分析の副産物として、U(1)電荷保存および磁場を有する(2+1)次元対称性保護型位相秩序（SPT）状態の新しい分類が得られる。