[論文レビュー] Classification of Galois objects of Uq(g) up to homotopy equivalence

Thomas Aubriot|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、基底体内の可逆元の族 $\lambda = (\lambda_{ij})$ に対し、Drinfeld-Jimbo 量子群 $U_q(\mathfrak{g})$ の明示的なガロア対象 $A_\lambda$ を生成子と関係式を用いて構成する。すべての $U_q(\mathfrak{g})$ のガロア対象が一意的な $A_\lambda$ にホモトピー同値であることを証明し、ホモトピー同値類に関して完全な分類を確立する。

ABSTRACT

For any Drinfeld-Jimbo quantum enveloping algebra Uq(g) and for any family $λ=(λ\_{ij})\_{1\leq i < j\leq t} \in k^{\star}$ of invertible elements of the base field, we explicitly construct a Galois object $A\_λ$ of Uq(g) by generators and relations and we prove that any Galois object of Uq(g) is homotopic to a unique object of type $A\_λ$.

研究の動機と目的

• Drinfeld-Jimbo 量子群 $U_q(\mathfrak{g})$ のガロア対象をホモトピー同値類に関して明示的かつ構成的に分類すること。
• 同型類での分類の難しさを克服するため、ホモトピーというより粗い同値関係を導入すること。
• 各ホモトピー同値類を生成子と関係式で定義された標準的な代数 $A_\lambda$ で実現すること。
• ホモトピー同値類の集合とコhomologicalデータ $\lambda \in H^2(G, k^*)$ の間の全単射対応を確立すること。

提案手法

• 生成子 $X_i, Y_j, Z_l$ と関係式を用いて、コhomologicalデータ $\lambda_{ij}$ を符号化する形で代数 $A_\lambda$ を明示的に構成する。
• 標準的な $U_q(\mathfrak{g})$-コモジュール構造に、$\sigma_\rho$ によるねじれを導入することで、$A_\lambda$ に $U_q(\mathfrak{g})$-コモジュール構造を定義する。
• canonical 写像 $\beta: A_\otimes_B A \to A \otimes U_q(\mathfrak{g})$ を用いて、$A_\lambda$ がホップ・ガロア拡張であることを検証する。
• 包含写像 $k[G] \to U_q(\mathfrak{g})$ によって誘導されるベースチェンジファンクター $i^*$ を用い、$A_\lambda$ をねじれた群代数と関連付ける。
• Kassel と Schneider のホモトピー分類に関する結果を用いて、写像 $i^*: \mathcal{H}_k(U_q(\mathfrak{g})) \to \mathcal{H}_k(k[G])$ が全単射であることを証明する。
• $A_\lambda$ とねじれた代数 $_{\sigma_\rho}U_q(\mathfrak{g})$ の間の全単射コモジュール代数準同型 $\Psi$ を用いて、それらが同型であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のコhomologicalデータ $\lambda$ に対して、生成子と関係式を用いて $U_q(\mathfrak{g})$ のすべてのガロア対象を明示的に構成可能か？
• RQ2 ガロア対象のホモトピー同値類が、基底体内の可逆元の族 $\lambda$ によって完全に決定されるか？
• RQ3 任意のガロア対象は、群代数 $k[G]$ へのベースチェンジを施すと、$U_q(\mathfrak{g})$ のねじれたバージョンと同型になるか？
• RQ4 写像 $\lambda \mapsto A_\lambda$ が、コhomology類 $H^2(G, k^*)$ とガロア対象のホモトピー同値類の間の全単射をなすか？
• RQ5 包含写像 $k[G] \to U_q(\mathfrak{g})$ を通じて、$U_q(\mathfrak{g})$-ガロア対象のホモトピー分類が、$k[G]$-ガロア対象の分類に還元可能か？

主な発見

• 基底体 $k$ 内の可逆元の族 $\lambda = (\lambda_{ij})_{1 \leq i < j \leq t}$ に対して、代数 $A_\lambda$ は生成子と関係式を用いて明示的に $U_q(\mathfrak{g})$-コモジュール代数として構成される。
• 代数 $A_\lambda$ は $U_q(\mathfrak{g})$ のガロア対象である。すなわち、$k$ へのホップ・ガロア拡張であり、canonical 写像 $\beta$ が同型である。
• すべての $U_q(\mathfrak{g})$ のガロア対象は、一意的な $A_\lambda$ にホモトピー同値であり、ホモトピー同値類に関して完全な分類が確立される。
• $i^*: \mathcal{H}_k(U_q(\mathfrak{g})) \to \mathcal{H}_k(k[G])$ は全単射であり、$\mathcal{H}_k(k[G]) \cong H^2(G, k^*)$ であることから、$\mathcal{H}_k(U_q(\mathfrak{g})) \cong H^2(G, k^*)$ が従う。
• $A_\lambda$ の構成において、ねじれ $\sigma_\rho$ を用いることで、$A_\lambda$ がコモジュール代数として $_{\sigma_\rho}U_q(\mathfrak{g})$ と同型であることが保証され、逆写像 $\varphi_\lambda$ が明示的に定義される。
• $A_\lambda$ のホモトピー同値類における一意性は、$i^*(A_\lambda) = i^*(A_{\lambda'})$ ならば $\lambda = \lambda'$ が成り立つこと（コhomological対応の単射性による）から導かれる。