[論文レビュー] Classification of Gapped Symmetric Phases in 1D Spin Systems

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 23, 2010

Quantum many-body systems参考文献 2被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、局所ユニタリ（LU）同値性と射影的表現を用いて、1次元量子スピン系におけるギャップのある対称的位相を分類する。対称性がない場合、すべての1次元ギャップのある位相は自明な積状態に同値であるが、局所的対称性がある場合、位相は第二コhomology群 $ H^2(G, \mathbb{C}) $ によって分類され、これは対称性保護型トポロジカル秩序を捉える。

ABSTRACT

Quantum many-body systems divide into a variety of phases with very different physical properties. The question of what kind of phases exist and how to identify them seems hard especially for strongly interacting systems. Here we make an attempt to answer this question for gapped interacting quantum spin systems whose ground states are short-range correlated. Based on the local unitary equivalence relation between short-range correlated states in the same phase, we classify possible quantum phases for 1D matrix product states, which represent well the class of 1D gapped ground states. We find that in the absence of any symmetry all states are equivalent to trivial product states, which means that there is no topological order in 1D. However, if certain symmetry is required, many phases exist with different symmetry protected topological orders. The symmetric local unitary equivalence relation also allows us to obtain some simple results for quantum phases in higher dimensions when some symmetries are present.

研究の動機と目的

• 特定の対称性をもつ1次元スピン系における、ギャップのある短距離もつれの量子位相をすべて分類すること。
• 対称性が存在しない1次元系にトポロジカル秩序が存在しうるかを特定すること。
• 局所ユニタリ同値性と射影的表現の枠組みを用いて、対称的ギャップのある位相を完全に分類すること。
• 並進対称性やパリティ不変性などの追加の対称性を含めた場合への分類の拡張。

提案手法

• 短距離相関を持つ1次元ギャップのある基底状態を記述するために行列積状態（MPS）表現を用いる。
• 位相の同値性を定義するために局所ユニタリ（LU）同値関係を適用し、同じ位相に属する状態間の連続的変形を可能にする。
• 位相を第二コホモロジー群 $ H^2(G, \mathbb{C}) $ に基づいて分類し、これは対称性群 $ G $ の射影的表現を分類する。
• 局所的対称性群 $ G $ の線形表現と射影的表現の両方を検討し、位相因子 $ \alpha(g) $ とコサイクル $ \omega(g_1,g_2) $ を含む。
• MPSからハミルトニアンの親を構築し、ギャップがあり、対称的かつ並進不変なモデルを保証する。
• 連続的なLU変換による対称状態と固定点状態との間の断続的連続性を示し、同じ位相内でのLU同値性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 対称性が全くない1次元量子スピン系にトポロジカル秩序が存在しうるか？
• RQ2 1次元系に局所的対称性 $ G $ が存在する場合、ギャップのある位相はどのように分類されるか？
• RQ3 1次元における対称性保護型トポロジカル位相の分類において、射影的表現が果たす役割は何か？
• RQ4 並進対称性とパリティ対称性の導入が、異なるギャップのある位相の数に与える影響は何か？
• RQ5 1次元系におけるすべての対称的ギャップのある位相は、対称的局所ユニタリ変換によって接続可能か？

主な発見

• いかなる対称性も存在しない場合、すべてのギャップのある1次元スピン系は同じ位相に属し、自明な積状態に同値であり、これは対称性のない1次元系にはトポロジカル秩序が存在しないことを示唆する。
• 局所的対称性 $ G $ を持つ非並進不変（NTI）1次元系では、ギャップのある対称的位相は $ H^2(G, \mathbb{C}) $ によって分類され、これは $ G $ の射影的表現を分類する。
• SO(3) 対称性を持つ整数スピン鎖は、$ H^2(SO(3), \mathbb{C}) $ の2つの元に対応する、正確に2つの異なるギャップのある位相を持つ。
• SO(3) 対称性を持つ半整数スピン鎖も、同じ $ H^2(SO(3), \mathbb{C}) $ の分類にもかかわらず、射影的表現のおかげで正確に2つのギャップのある対称的位相を持つ。
• $ \mathbb{Z}_n $ 対称性では、$ H^2(\mathbb{Z}_n, \mathbb{C}) $ が自明であるため、ギャップのある対称的位相は1つだけ存在する。
• $ U(1) $ 対称性では、$ H^2(U(1), \mathbb{C}) $ が自明であるにもかかわらず、無限大の1次元表現とその位相回転構造のおかげで、正確に3つのギャップのある対称的位相が存在する。