[論文レビュー] Classification of Generalized Symmetries for the Vacuum Einstein Equations

Ian Anderson, Charles G Torre|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 1994

Advanced Differential Geometry Research被引用数 31

ひとこと要約

この論文は、スピンルアル・ジェット座標と一階対称性への体系的還元を用いて、4次元時空における真空中のアインシュタイン方程式の一般化対称性を分類する。非自明な保存則がそれらから生じないことを証明し、唯一の一般化対称性は無限小一般化微分同相と定数倍の計量スケーリングであることを示している。

ABSTRACT

A generalized symmetry of a system of differential equations is an infinitesimal transformation depending locally upon the fields and their derivatives which carries solutions to solutions. We classify all generalized symmetries of the vacuum Einstein equations in four spacetime dimensions. To begin, we analyze symmetries that can be built from the metric, curvature, and covariant derivatives of the curvature to any order; these are called natural symmetries and are globally defined on any spacetime manifold. We next classify first-order generalized symmetries, that is, symmetries that depend on the metric and its first derivatives. Finally, using results from the classification of natural symmetries, we reduce the classification of all higher-order generalized symmetries to the first-order case. In each case we find that the generalized symmetries are infinitesimal generalized diffeomorphisms and constant metric scalings. There are no non-trivial conservation laws associated with these symmetries. A novel feature of our analysis is the use of a fundamental set of spinorial coordinates on the infinite jet space of Ricci-flat metrics, which are derived from Penrose's ``exact set of fields'' for the vacuum equations.

研究の動機と目的

• 4次元における真空中のアインシュタイン方程式の任意の順序の一般化対称性を体系的に分類すること。
• 一般相対性理論における隠れた一般化対称性の存在に関する長年の疑問を解消すること。
• これらの対称性が局所的保存則や解生成技術をもたらす可能性があるかどうかを特定すること。
• 真空中のアインシュタイン方程式の一般化対称性から非自明な保存則が生じないことを確立すること。

提案手法

• 真空中重力のためのペネロウの「正確な場の集合」に基づいて導かれた、リッチ平坦計量の無限ジェット空間上の基本的スピンルアル座標を用いる。
• 任意の時空多様体上で、計量、曲率、曲率の共変微分を任意の順序で組み合わせた自然対称性——つまり、計量とその高次の共変微分から構成される対称性——を分類する。
• ジェット位数に関する帰納的議論を用いて、高次の一般化対称性の分類を一階の場合に還元する。
• スピンルアル変数における共変定数条件を用いて、非自明な対称性成分を消去し、それらが微分同相またはスケーリングでない限り消えることを示す。
• スピンルアル形式における線形化アインシュタイン方程式を用いて、対称性成分にかかる制約を導出し、特に $ abla ilde{ abla}$-微分と曲率成分に関連する制約を特定する。
• すべての高次対称性が、一般化微分同相を除いて、$x$, $ ilde{ abla}$, $ ilde{ abla} ilde{ abla}$ およびスピンルアル場にのみ依存する一階対称性と同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元における真空中のアインシュタイン方程式に対して、微分同相とスケーリングを超えた非自明な一般化対称性は存在するか？
• RQ2 真空中のアインシュタイン方程式の一般化対称性が、重力場の局所的保存則を生じる可能性はあるか？
• RQ3 自己双対的ケースのような可積分な還元が示唆するように、完全な真空中のアインシュタイン方程式に隠れた対称性が存在するか？
• RQ4 一般化対称性の分類は一階対称性に還元可能か？ もしそうなら、それらの形を制約する条件は何か？
• RQ5 スピンルアル・ジェット座標は、重力における一般化対称性の解析を簡略化する上で果たす役割は何か？

主な発見

• 4次元における真空中のアインシュタイン方程式の一般化対称性は、アインシュタイン方程式を除いて、無限小一般化微分同相と定数倍の計量スケーリングに同値である。
• 認められる唯一の対称性は $ h_{ab} = c g_{ab} + abla_a X_b + abla_b X_a $ の形であり、ここで $ c $ は定数で、$ X^a $ は一般化ベクトル場である。
• これらの対称性からは非自明な保存則が生じない。これは、微分同相およびスケーリング項を超えるすべての高次対称性成分が消えることによって確認された。
• 高次対称性の分類は、ジェット位数とスピンルアル座標における共変定数性に基づく帰納的議論によって、完全に一階の場合に還元される。
• スピンルアル場 $ ilde{ abla}^k $ および $ ilde{ abla}^k $ に依存する対称性成分は、微分同相またはスケーリング構造に含まれない限り消えることが、$ A, B, D, E $ に関する微分的制約によって示された。
• この解析により、隠れた一般化対称性（例えば、グルセスが提案したようなもの）の存在が排除された。