[論文レビュー] Classification of kinematical Lie algebras

José Figueroa-O’Farrill|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2017

Advanced Topics in Algebra参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の次元 D における運動論的リー代数を分類し、回転代数 𝔰𝔬(D) を拡張し、空間的回転の作用に関して閉じる次元 (D+1)(D+2)/2 のすべての実リー代数を特定する。静的運動論的代数の変形を体系的に列挙し、中心拡張と非中心変形を含む。また、不変内積を許容する代数を同定し、𝔰𝔬(D+2)⊕ℝ や 𝔰𝔬(D,2)⊕ℝ などの計量リー代数を特定する。

ABSTRACT

We summarise the classification of kinematical Lie algebras in arbitrary dimension and indicate which of the kinematical Lie algebras admit an invariant inner product.

研究の動機と目的

• 任意の次元 D における運動論的リー代数の完全な分類を提供すること。これは、D=3 および D=2 の既知の結果を一般化する。
• これらの代数の中で、随伴不変（計量）内積を許容するもの、すなわち半単純でない場合にも拡張された計量リー代数の概念を含む。
• D≥3 に対して、静的運動論的代数 𝔰 の変形理論を体系化すること。中心拡張および非中心拡張を含む。
• 運動論的変形を分類する際に果たすコホロジー構造（例えば H²(𝔰,𝔠;ℝ) および H²(𝔰,𝔠;𝔰)）の役割を明確化すること。
• 非単純な 𝔰𝔬(2) に起因する低次元の異常（例：D=2）を解消し、運動論的変形と一般のリー代数の変形を区別すること。

提案手法

• Hochschild–Serre の因子分解定理を用い、静的代数 𝔰 の変形をコホロジー群 H²(𝔰,𝔠;ℝ) および H²(𝔰,𝔠;𝔰) と関連付ける。ここで 𝔠 は回転部分代数である。
• D=2 の場合に複素化技術を適用し、𝔰𝔬(2) の作用を対角化するために複素結合 𝔟 = B₁+iB₂ および 𝔭 = P₁+iP₂ を導入する。
• 表現論を用いて、Bₐ, Pₐ, H 間の 𝔰𝔬(D)-不変なリー括弧を分類し、ジャコビ恒等式と変換性を保証する。
• 正規形とパrameter化（例：γ ∈ (-1,1], α > 0）を用いて、各同型類に対して明示的なリー括弧を構成する。
• 普遍中心拡張を用いて中心拡張を分析し、[Bₐ,Pᵦ] = δₐᵝZ を満たす中心生成子 Z を導入する。
• カタンの基準と明示的構成を用いて、非退化で随伴不変な対称双線形形式の存在を確認することで計量性を決定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 (D+1)(D+2)/2 の実リー代数の中で、回転代数 𝔰𝔬(D) を部分代数として持ち、Bₐ, Pₐ, H が回転に対してベクトルおよびスカラーとして変換するものは、運動論的であるとは何か？
• RQ2 どの運動論的リー代数が随伴不変な内積を許容するか？ そして、このような計量構造はどのように分類できるか？
• RQ3 D≥3 と D=2 の場合における静的代数 𝔰 の変形類はどのように異なり、それらを支配するコホロジー不変量は何か？
• RQ4 中心拡張 [Bₐ,Pᵦ] = Z が新しい運動論的代数を生成する役割を果たすのはなぜか？ そして、その中で計量であるものはどれか？
• RQ5 なぜ低次元ケース（D=1,2）では、例えばガリレオ ≅ キャロル、ニュートン ≅ ローレンツ のような同型が高次元では現れないのか？

主な発見

• D=1 の場合、分類は3次元リー代数のバイアーニ分類に帰着する。計量となるのはアーベル（I）および単純（VIII, IX）の場合に限る。
• D=2 の場合、𝔰𝔬(2) に不変なシンプレクティック構造が存在し、Bₐ および Pₐ に複素構造を誘導する。これにより、複素化された生成子を用いた分類が可能になる。
• D≥3 の場合、静的代数 𝔰 の普遍中心拡張における相対2コサイクルの空間は H²(𝔰,𝔠;ℝ) において4次元であり、中心拡張を支配する。
• H²(𝔰,𝔠;𝔰) に属する11個の変形のうち、𝔰𝔬(D+2)⊕ℝ や 𝔰𝔬(D,2)⊕ℝ のような単純代数の自明な拡張のみが計量である。
• 𝔰𝔬(D+1,1)⊕ℝ、𝔰𝔬(D+2)⊕ℝ、𝔰𝔬(D,2)⊕ℝ は、非退化で随伴不変な内積を持つ計量運動論的代数として同定される。
• 非中心変形、例えば [H,𝔟]=γ𝔟 および [H,𝔭]=𝔭（γ∈(-1,1]）を満たすものにより、𝑠, 𝔭, 𝔤 とは同型でない新しい運動論的代数が得られる。