[論文レビュー] Classification of $N$-(super)-extended Poincaré algebras and bilinear invariants of the spinor representation of $Spin(p,q)$

Dmitry V. Alekseevsky, Vicente Cortés|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 1995

Advanced Topics in Algebra参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、任意の符号 (p,q) に対する N-(超)拡張 Poincaré代数を、Spin(p,q) のスピンルールモジュール上の so(V)-不変な双線形形式を分析することによって分類する。クラッファードモジュールモデルとボット周期性を用いて、独立なリーハイパー代数および代数の数を計算し、これらの次元 L^±(n,s) が {0,1,2,3,4,6} の値をとり、周期 8 で周期的であることを示している。

ABSTRACT

We classify extended Poincaré Lie super algebras and Lie algebras of any signature (p,q), that is Lie super algebras and Z_2-graded Lie algebras g = g_0 + g_1, where g_0 = so(V) + V is the (generalized) Poincaré Lie algebra of the pseudo Euclidean vector space V = R^{p,q} of signature (p,q) and g_1 = S is the spinor so(V)-module extended to a g_0-module with kernel V. The remaining super commutators {g_1,g_1} (respectively, commutators [g_1, g_1]) are defined by an so(V)-equivariant linear mapping vee^2 g_1 -> V (respectively, wedge^2 g_1 -> V). Denote by P^+(n,s) (respectively, P^-(n,s)) the vector space of all such Lie super algebras (respectively, Lie algebras), where n = p + q = dim V and s = p - q is the signature. The description of P^+-(n,s) reduces to the construction of all so(V)-invariant bilinear forms on S and to the calculation of three Z_2-valued invariants for some of them. This calculation is based on a simple explicit model of an irreducible Clifford module S for the Clifford algebra Cl_{p,q} of arbitrary signature (p,q). As a result of the classification, we obtain the numbers L^+-(n,s) = \dim P^+-(n,s) of independent Lie super algebras and algebras, which take values 0,1,2,3,4 or 6. Due to Bott periodicity, L^+-(n,s) may be considered as periodic functions with period 8 in each argument. They are invariant under the group Gamma generated by the four reflections with respect to the axes n=-2, n=2, s-1 = -2 and s-1 = 2. Moreover, the reflection (n,s) -> (-n,s) with respect to the axis s=0 interchanges L^+ and L^- : L^+(-n,s) = L^-(n,s).

研究の動機と目的

• 任意の符号 (p,q) に対するすべての N-(超)拡張 Poincaré リー超代数およびリー代数を分類すること。
• 各符号 (p,q) に対して、L^+-(n,s) と表記される独立なそれらの代数の数を特定すること。ここで n = p+q、s = p−q である。
• Spin(p,q) のスピンルールモジュール S における so(V)-不変な双線形形式を計算し、それに関連する Z_2-値不変量を特定すること。
• 4つの反射で生成される群 Gamma の下で、分類の周期性および対称性の性質を確立すること。
• 反射 (n,s) → (-n,s) による L^+ と L^- 間の双対性を明確にし、L^+(-n,s) = L^-(n,s) を示すこと。

提案手法

• 任意の符号 (p,q) に対して、クラッファード代数 Cl_{p,q} の無限小クラッファードモジュール S の明示的モデルを構築すること。
• ∨^2 S から V への so(V)-等変写像を用いて、超交換子 {g_1, g_1} および交換子 [g_1, g_1] を特徴付けること。
• P^+-(n,s) の分類を、スピンルールモジュール S 上の so(V)-不変な双線形形式の分類に還元すること。
• 特定の双線形形式に関連する 3 つの Z_2-値不変量を計算し、同値でない拡張を区別すること。
• ボット周期性を適用して、L^+-(n,s) が n および s の両方で周期 8 の関数であることを示すこと。
• 4 つの反射からなる群 Gamma を用いて、対称性関係を確立し、特に双対性 L^+(-n,s) = L^-(n,s) を得ること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 与えられた符号 (p,q) に対して、独立な N-(超)拡張 Poincaré代数はいくつ存在するか？
• RQ2 Spin(p,q) のスピンルール表現における so(V)-不変な双線形形式は何か？ それらは拡張をどのように分類するか？
• RQ3 これらの代数の空間の次元 L^+-(n,s) は符号 (p,q) に依存してどのように変化するか？ その振る舞いを支配する対称性は何か？
• RQ4 ボット周期性は、これらの拡張代数の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 反射 (n,s) → (-n,s) の下で L^+ と L^- 間の双対性はどのように生じるか？ その意義は何か？

主な発見

• 独立な N-(超)拡張 Poincaré代数の数 L^+-(n,s) は、すべての符号 (p,q) に対して集合 {0,1,2,3,4,6} の値をとる。
• 次元 L^+-(n,s) は、ボット周期性のおかげで n = p+q および s = p−q の両方で周期 8 の関数である。
• 分類は、n = ±2、s−1 = ±2、および軸 s = 0 を含む 4 つの反射で生成される群 Gamma の下で不変である。
• 反射 (n,s) → (-n,s) は L^+ と L^- を交換し、L^+(-n,s) = L^-(n,s) を満たす。
• スピンルールモジュール S をクラッファードモジュールとして構成することで、すべての符号 (p,q) を一様に分析する枠組みが得られる。
• 分類は、S 上の so(V)-不変な双線形形式およびそれに関連する Z_2 不変量の計算に完全に還元される。