[論文レビュー] Classification of p-groups by their Schur multiplier

Sumana Hatui|arXiv (Cornell University)|May 6, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、シュール乗数の位数が $p^{\frac{1}{2}n(n-1)-6}$ である非アーベル有限 $p$-群を分類し、奇数 $p$ および $p=2$ の両方について、先行研究とは異なる新しい手法を用いて完全な構造的分類を提示する。主な結果として、位数 $p^8$ までの一括同型類の完全なリストが得られ、$t(G) = 6$ の場合に、各群の型について明示的な表示が与えられる。

ABSTRACT

Let $G$ be a non-abelian $p$-group of order $p^n$ and $M(G)$ be its Schur multiplier. It is well known result by Green that $|M(G)| \leq p^{\frac{1}{2}n(n-1)}$. So $|M(G)|= p^{\frac{1}{2}n(n-1)-t(G)}$ for some $t(G) \geq 0$. The groups has already been classified for $t(G) \leq 5$ by several authors. For $t(G)=6$ the classification has been done. In this paper we classify $p$-groups $G$ for $t(G) = 6$ in different method.

研究の動機と目的

• 位数 $p^n$ の非アーベル $p$-群 $G$ で、シュール乗数 $M(G)$ の位数が $p^{\frac{1}{2}n(n-1)-6}$、すなわち $t(G) = 6$ であるものをすべて分類すること。
• 先行研究 [12] とは異なる、構造に基づいた新しい分類手法を、$t(G) = 6$ の $p$-群に適用すること。
• $t(G) \leq 5$ までの $p$-群のシュール乗数の位数による分類を拡張し、すべての素数 $p$ に対して $t(G) = 6$ の場合を完了させること。
• このような群の正確な同型類を特定し、各同型類について明示的な表示を提供すること。

提案手法

• シュール乗数の位数が $|M(G)| = p^{\frac{1}{2}n(n-1) - t(G)}$ となる構造的不変量 $t(G)$ を用いて、$t(G) = 6$ の $p$-群を分類する。
• 定理 2.1（中心商によるシュール乗数の評価）と命題 2.2（下部中心列と乗数の上限に関する評価）を適用し、群の構造を制約する。
• ジェイムズによる、$n \leq 6$ の $p$-群の同型類の分類（$\Phi_k$ の記法を用いて）を用い、候補となる群を列挙する。
• 特別な $p$-群のシュール乗数に関する結果（定理 2.3）および小規模な $p$-群の既知の乗数の位数（定理 2.4）を適用し、候補を除外する。
• $p = 2$ の場合の計算的検証には、GAP の HAP パッケージを用い、特に位数 $2^7$ および $2^8$ の群に対して適用する。
• 中心部分群 $K$ を用いた帰納法と商群の解析により、$|M(G)|$ の上限を導出し、乗数が小さい群を除外する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位数 $p^n$ の非アーベル $p$-群 $G$ で、シュール乗数の位数が $p^{\frac{1}{2}n(n-1)-6}$ であるものはどれか？
• RQ2 先行研究とは異なる手法を用いて、$t(G) = 6$ の $p$-群の分類を $t(G) \leq 5$ の場合から拡張できるか？
• RQ3 奇数 $p$ および $p=2$ の両方について、$t(G) = 6$ の $p$-群の完全な同型類は何か？
• RQ4 可解クラス、導来部分群、中心が、$t(G) = 6$ の $p$-群におけるシュール乗数の大きさにどのように影響するか？
• RQ5 位数 $p^7$ の非アーベル $p$-群で $t(G) = 6$ であるものは存在するか？もしなければ、その理由は何か？

主な発見

• 奇数 $p$ の場合、$t(G) = 6$ を満たす非アーベル $p$-群の同型類は正確に 12 個であり、$ES_p(p^3) \times \mathbb{Z}_p^{(5)}$、$\Phi_2(21^4)a$、$\Phi_5(21^4)b$、$\Phi_4(1^6)$ など、他のいくつかの群が含まれる。
• $p = 2$ の場合、同型類は正確に 14 個であり、$D_8 \times \mathbb{Z}_2^{(4)}$、$Q_8 \times \mathbb{Z}_2^{(3)}$、$QD_{16}$、$Q_{16}$、および $\mathbb{Z}_2$-作用を伴うさまざまな半直積が含まれる。
• 定理 2.1 と命題 2.2 を用いた乗数の上限の評価により、$t(G) = 6$ を満たす非アーベル $p$-群は位数 $p^7$ には存在しないことが示された。
• $t(G) = 6$ を満たす群は $n \leq 8$ に限られ、最大位数 $p^8$ は $ES_p(p^3) \times \mathbb{Z}_p^{(5)}$ で達成される。
• 位数 $p^6$ の群の中で、$|M(G)| = p^9$ を満たすのは、$\Phi_4(1^6)$、$\Phi_2(21^4)a$、$\Phi_2(21^4)b$、$\Phi_5(21^4)a$、$\Phi_5(1^6)$、$\Phi_5(21^4)b$ のみであり、乗数の上限評価と同型類解析により確認された。
• $p = 2$ の場合、GAP の HAP パッケージを用いた計算的検証により、$t(G) = 6$ を満たす 14 個の群のリストが確認された。