[論文レビュー] Classification of Symmetry-Protected Phases for Interacting Fermions in Two Dimensions

Meng Cheng, Zhen Bi+2 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Jan 6, 2015

Atomic and Subatomic Physics Research被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、群コhomologyと欠損anyon理論を組み合わせることで、総対称性群 $G \times \mathbb{Z}_2^f$ を持つ相互作用するフェルミオン系の2次元対称性保護型トップولوجical（SPT）相を完全に分類する。グループ超コホモロジー分類を拡張し、未対のマヨラナエッジモードを捉えるために追加の $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 構造を組み込み、全分類が $H^1(G, \mathbb{Z}_2) \times BH^2(G, \mathbb{Z}_2) \times H^3(G, \mathrm{U}(1))$ で与えられることを示し、2次元フェルミオンSPT相の分類問題を解決する。

ABSTRACT

Recently, it has been shown that two-dimensional bosonic symmetry-protected topological(SPT) phases with on-site unitary symmetry $G$ can be completely classified by the group cohomology class $H^3(G, \mathrm{U}(1))$. Later, group super-cohomology class was proposed as a partial classification for SPT phases of interacting fermions. In this work, we revisit this problem based on the mathematical framework of $G$-extension of unitary braided tensor category(UBTC) theory. We first reproduce the partial classifications given by group super-cohomology, then we show that with an additional $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ structure, a complete classification of SPT phases for two-dimensional interacting fermion systems for a total symmetry group $G imes\mathbb{Z}_2^f$ can be achieved. We also discuss the classification of interacting fermionic SPT phases protected by time-reversal symmetry.

研究の動機と目的

• オンサイトユニタリ対称性 $G$ を持つ2次元相互作用フェルミオン系のSPT相を完全に分類すること。
• グループ超コホモロジーによる部分的分類を拡張し、未対のマヨラナゼロモードを捉える追加の $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 構造を同定すること。
• グループ超コホモロジーにおける $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 項の物理的意味を、フェルミオンパリティ $\pi$ フラックスが持つ分数化された $\mathbb{Z}_2$ 量子数として明確化すること。
• 時間反転対称性を含む、反ユニタリ対称性を持つ系への分類の一般化。
• 2次元トポロジカル相における対称性デフェクトの代数的理論とanyonの融合則を用いて、フェルミオンSPT相の分類を統一すること。

提案手法

• 著者らは2次元ギャップのある量子相における対称性デフェクトの代数的理論を用い、外生的対称性フラックスの位相的性質を分析する。
• 特にフェルミオンパリティ $\pi$ フラックスとその分数化された量子数に注目し、対称性デフェクトの融合則とブレーディング統計を研究することで、fSPT相を分類する。
• フェルミオン統計を有するanyonの融合にための $F$-シンボルを構成し、五角形方程式による整合性を強制する。
• 整合性の障害は4次コホモロジー $\mathrm{d}\nu$ によって補われており、$(\mathrm{d}\nu)(g,h,k,l) = (-1)^{n(g,h)n(k,l)}$ という条件が得られ、$H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 分類を定義する。
• $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 項は、$F$-シンボル内の $n$-関数に由来する、$\pi$ フラックスが持つ分数化された $\mathbb{Z}_2$ 量子数として解釈される。
• $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 項は、$\mathbb{Z}_2$ 対称性フラックス上に未対のマヨラナゼロモードが存在する条件として特定され、そのようなモードを有する・ない相を区別する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オンサイトユニタリ対称性 $G$ を持つ2次元相互作用フェルミオンSPT相の完全分類は何か？
• RQ2 $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 構造は、対称性フラックス上に未対のマヨラナゼロモードが存在するのとどのように関係するか？
• RQ3 グループ超コホモロジー分類における $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 項の物理的解釈は何か？
• RQ4 対称性デフェクトの融合およびブレーディング統計は、可能なfSPT相をどのように制限するか？
• RQ5 分類は時間反転対称性を含むように拡張可能か？ユニタリの場合とはどのように異なるか？

主な発見

• 総対称性群 $G \times \mathbb{Z}_2^f$ を持つ2次元相互作用フェルミオンSPT相の完全分類は、積 $H^1(G, \mathbb{Z}_2) \times BH^2(G, \mathbb{Z}_2) \times H^3(G, \mathrm{U}(1))$ で与えられ、グループ超コホモロジー分類を拡張する。
• $H^1(G, \mathbb{Z}_2)$ 項は、未対のマヨラナエッジモードを有する相を分類し、それらは対称性フラックスによって保護され、$\mathbb{Z}_2$ フラックス上にゼロモードが存在することに対応する。
• $BH^2(G, \mathbb{Z}_2)$ 項は、フェルミオンパリティ $\pi$ フラックスが持つ分数化された $\mathbb{Z}_2$ 量子数として物理的に解釈され、$F$-シンボル内の非自明な $n$-関数に由来する。
• $H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 項は、既知のボソンSPT相の分類に対応し、$F$-シンボル内の $\nu$-要因に由来する。
• $G = \mathbb{Z}_2$ の場合、全分類は $\mathbb{Z}_8$ 個の相を生じ、$H^1(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2$、$BH^2(\mathbb{Z}_2, \mathbb{Z}_2) = \mathbb{Z}_2$、$H^3(\mathbb{Z}_2, \mathrm{U}(1)) = \mathbb{Z}_2$ の寄与により、$\mathbb{Z}_8$ の群構造と整合する。
• 五角形方程式は、障害 $(-1)^{n(g,h)n(k,l)}$ が4次コホモロジー $\mathrm{d}\nu$ によって補われている場合にのみ満たされ、$H^3(G, \mathrm{U}(1))$ 条件を強制し、anyon理論の整合性を保証する。