[論文レビュー] Classification of symmetry protected topological phases in quantum spin chains

Yoshiko Ogata|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2021

Quantum many-body systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、1次元および2次元の量子スピン鎖における対称性保護型トポロジカル（SPT）相を、演算子代数的手法を用いて厳密に分類する。SPT相は、1次元では$H^2(G, U(1))$、2次元では$H^3(G, U(1))$によって分類されることを確立した。無限大系における自己同型とコycle作用を用いて明示的な不変量を構成し、物理学者の予想を裏付け、Dijkgraaf-Wittenモデルを無限大系へ拡張した。

ABSTRACT

We consider the classification problem of symmetry protected topological (SPT) phases on quantum spin systems. SPT phases are gapped short-range-entangled quantum phases with a symmetry $G$. We explain that in one and two-dimensional quantum spin systems, there are $H^{2}(G, U(1))$/ $H^{3}(G, U(1))$-valued invariant, confirming a physicists conjecture.

研究の動機と目的

• 量子スピン系における対称性保護型トポロジカル（SPT）相の数学的厳密な分類を、演算子代数的手法を用いて行う。
• 有限局所対称性群$G$に対して、$ u$次元系におけるSPT相が$H^{\nu+1}(G, U(1))$によって分類されることを示す物理学者の予想を確認する。
• 1次元および2次元におけるSPT相に対して、それぞれ$H^2(G, U(1))$および$H^3(G, U(1))$値不変量を、無限大系における自己同型とコycle作用を用いて定義し構成する。
• Dijkgraaf-Wittenトポロジカル量子場理論とSPT相の分類との間の関係を、無限大体積極限において確立する。

提案手法

• 量子スピン系の時間発展を強く連続な自己同型の1パラメータ群として記述する$C^*$-動的系の枠組みを用いる。
• スプリット性質を適用して、無限大系における一意なギャップを持つ基底状態の存在を保証し、トポロジカル不変量の定義を可能にする。
• 1次元系に対して行列積状態（MPS）表現を構成し、射影的表現とユニタリコycleを用いて$H^2(G, U(1))$値インデックスを定義する。
• 2次元系に対しては、3つの自己同型$\sigma^{(0)}, \sigma^{(1)}, \sigma^{(2)}$とそのコバウンダリー写像を用いて$H^3(G, U(1))$値インデックスを定義する。
• Dijkgraaf-Wittenモデルを、$H^3(G, U(1))$値インデックスの具体的実現として用い、3次コycle $\Psi^3(\nu)$をユニタリコycle $V(g,h)$ から導出する。
• 群コhomology理論を用いて、自己同型作用とその交換子をコhomology類に関連づけ、トポロジカル不変性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1次元量子スピン鎖におけるSPT相は、どのように群コhomologyを用いて分類できるか？
• RQ2 1次元SPT相における$H^2(G, U(1))$値不変量の明確な数学的構造は何か？
• RQ3 局所対称性$G$をもつ2次元SPT相において、$H^3(G, U(1))$値インデックスはどのようにして現れるか？
• RQ4 Dijkgraaf-Wittenモデルは、無限大系の極限において物理的SPT相として実現可能か？
• RQ5 スプリット性は、無限大量子スピン系におけるトポロジカル不変量の定義と安定化に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、局所有限群対称性$G$をもつ1次元量子スピン鎖におけるSPT相が、第2群コhomology群$H^2(G, U(1))$によって分類されることを証明した。
• 2次元系では、SPT相の分類が第3群コhomology群$H^3(G, U(1))$によって与えられることを示し、物理学者の予想を裏付けた。
• 自己同型と3次コycle$\Psi^3(\nu)$を用いて、明示的な$H^3(G, U(1))$値インデックスを構成した。この$\Psi^3(\nu)$は、Dijkgraaf-Wittenモデルにおけるユニタリコycle $V(g,h)$ から生じる。
• $H^2(G, U(1))$インデックスは、系の境界における対称性群$G$の射影的表現と行列積状態、ユニタリ演算子を用いて導出された。
• ハミルトニアンの滑らかな変形（ギャップを閉じない限り）において分類が安定しており、対称性が保たれ、基底状態が一意かつギャップを持つ限り成り立つ。
• この構成は無限大系の極限においても有効であり、ヒルベルト空間が無限次元である場合にのみトポロジカル不変量が非自明になる。これはフレドホルム指数と類似している。