[論文レビュー] Classification of the Z2Z4-linear Hadamard codes and their automorphism groups

Denis S. Krotov, Mercè Villanueva|Dipòsit Digital de Documents de la UAB (Universitat Autònoma de Barcelona)|Aug 5, 2014

Coding theory and cryptography参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、長さ $2^t$ の $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号を分類し、$\alpha=0$ であるすべての符号が $\alpha\neq0$ である符号と同値であることを証明することで、非同値な符号の数を $\lfloor t/2 \rfloor$ に削減する。さらに、対応する $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法的符号の単項自己同型群の位数と、それらに対応する $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形符号の置換自己同型群の位数を計算する。

ABSTRACT

A $Z_2Z_4$-linear Hadamard code of length $α+2β=2^t$ is a binary Hadamard code which is the Gray map image of a $Z_2Z_4$-additive code with $α$ binary coordinates and $β$ quaternary coordinates. It is known that there are exactly $[(t-1)/2]$ and $[t/2]$ nonequivalent $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes of length $2^t$, with $α=0$ and $α ot=0$, respectively, for all $t\geq 3$. In this paper, it is shown that each $Z_2Z_4$-linear Hadamard code with $α=0$ is equivalent to a $Z_2Z_4$-linear Hadamard code with $α ot=0$; so there are only $[t/2]$ nonequivalent $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes of length $2^t$. Moreover, the order of the monomial automorphism group for the $Z_2Z_4$-additive Hadamard codes and the permutation automorphism group of the corresponding $Z_2Z_4$-linear Hadamard codes are given.

研究の動機と目的

• 長さ $2^t$ の非同値な $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号を $t \geq 3$ について分類すること。
• $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号で $\alpha=0$ であるものと $\alpha\neq0$ であるものとの同値性に関する未解決問題を解明すること。
• $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法的ハダマード符号のタイプ $(\alpha,\beta;\tilde{\gamma}+1,2)$ に対する単項自己同型群の正確な位数を特定すること。
• 対応する $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号の置換自己同型群の位数を特定すること。

提案手法

• $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法的符号を二進 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形符号に変換するために、グレイ写像 $\Phi$ を使用する。
• $\delta=2$ および $\gamma = \tilde{\gamma}+1$ を満たすタイプ $(\alpha,\beta;\gamma,\delta)$ の $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法的符号の構造を分析し、その自己同型群に注目する。
• 符号構造、特にサイズ4のブロックに対して自己同型作用をもつ6つの特定の置換 $\psi$ を定義し、分類する。
• 各ブロックで座標を固定するアフィン置換が恒等写像でなければならないことを、背理法を用いて、アフィン写像の核の性質を用いて証明する。
• 6つの置換を $\mathbb{Z}_2^{\tilde{\gamma}} \times \mathbb{Z}_4^2$ 上の正則アフィン変換と組み合わせ、完全な自己同型群を構成する。
• 積 $2^i - 1$ と $\tilde{\gamma}$ に関する指数関数的項を含む閉形式の式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号で $\alpha=0$ であるものと $\alpha\neq0$ であるものとは同値か？
• RQ2 $t \geq 3$ に対して、長さ $2^t$ の非同値な $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号はいくつ存在するか？
• RQ3 タイプ $(\alpha,\beta;\tilde{\gamma}+1,2)$ の $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-加法的ハダマード符号の単項自己同型群の位数は何か？
• RQ4 対応する $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号の置換自己同型群の位数は何か？

主な発見

• $\alpha=0$ であるすべての $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号は $\alpha\neq0$ である符号と同値であるため、$t \geq 3$ に対して長さ $2^t$ の非同値な符号の総数は $\lfloor t/2 \rfloor$ である。
• $\mathbb{Z}_2\mathbb{Z}_4$-線形ハダマード符号のタイプ $(\alpha,\beta;\tilde{\gamma}+1,2)$ の自己同型群は、すべての置換 $\psi\alpha$ からなる。ここで $\alpha$ は $\mathbb{Z}_2^{\tilde{\gamma}} \times \mathbb{Z}_4^2$ 上の正則アフィン変換であり、$\psi$ は6つの特定の置換のいずれかである。
• 自己同型群の位数は $|\mathrm{Aut}(C)| = 6 \cdot 2^{\frac{1}{2}\tilde{\gamma}(\tilde{\gamma}+1) + 4\tilde{\gamma} + 9} \cdot 3 \prod_{i=1}^{\tilde{\gamma}} (2^i - 1)$ で与えられる。
• 6つの置換 $\psi$ は明示的に構成され、符号構造を保存することが示され、それらは位数6の群をなす。
• 証明は、各ブロックで座標を固定するアフィン自己同型が恒等写像でなければならないことを、アフィン写像の核と像の性質を用いて示すことに依拠している。
• 導出された群の位数は下界および上界と一致し、自己同型群の記述が完全であることが確認される。