[論文レビュー] Classifying gauge anomalies through SPT orders and classifying anomalies through topological orders

Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2013

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、d次元の場の理論におけるゲージ異常と1つ次元高い次元における対称性保護型トポロジカル秩序（SPT秩序）との深い関係を確立し、d次元のゲージ異常は群 $ ext{Free}[H^{d+1}(G,ar{bZ})] \oplus H_ au^{d+1}(BG,ar{bZ})$ によって分類されることを提案する。ここで、後者はねじれおよびトポロジカルなコホモロジーの両方を含む。この研究は、アドラー＝ベル＝ジャッキー（ABJ）型にとどまらない非ABJ異常、特にウィッテンのSU(2)異常を含む、異常分類を拡張し、重力異常を1つ高い次元におけるトポロジカル秩序と関連付ける。

ABSTRACT

In this paper, we systematically study gauge anomalies in bosonic and fermionic weak-coupling gauge theories with gauge group G (which can be continuous or discrete). We show a very close relation between gauge anomalies and symmetry-protected trivial (SPT) orders [also known as symmetry-protected topological (SPT) orders] in one-higher dimensions. Using such an idea, we argue that, in d space-time dimensions, the gauge anomalies are described by the elements in Free[H^{d+1}(G,R/Z)]\oplus H_\pi^{d+1}(BG,R/Z). The well known Adler-Bell-Jackiw anomalies are classified by the free part of the group cohomology class H^{d+1}(G,R/Z) of the gauge group G (denoted as Free[H^{d+1}(G,\R/\Z)]). We refer other kinds of gauge anomalies beyond Adler-Bell-Jackiw anomalies as nonABJ gauge anomalies, which include Witten SU(2) global gauge anomaly. We introduce a notion of \pi-cohomology group, H_\pi^{d+1}(BG,R/Z), for the classifying space BG, which is an Abelian group and include Tor[H^{d+1}(G,R/Z)] and topological cohomology group H^{d+1}(BG,R/Z) as subgroups. We argue that H_\pi^{d+1}(BG,R/Z) classifies the bosonic nonABJ gauge anomalies, and partially classifies fermionic nonABJ anomalies. Using the same approach that shows gauge anomalies to be connected to SPT phases, we can also show that gravitational anomalies are connected to topological orders (ie patterns of long-range entanglement) in one-higher dimension.

研究の動機と目的

• 任意のゲージ群Gをもつボソン的およびフェルミオン的弱結合ゲージ理論におけるゲージ異常を体系的に分類すること。
• d+1次元におけるゲージ異常と対称性保護型トポロジカル秩序（SPT秩序）との対応関係を確立すること。
• $\pi$-コホモロジー群 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ という新しい概念を導入し、非ABJゲージ異常を分類するために用いること。
• トポロジカル秩序を介して、1つ高い次元における高次元のトポロジカル秩序を用いて、重力異常を含む異常分類フレームワークを拡張すること。

提案手法

• 1つ高い次元におけるゲージ異常とSPT位相の対応関係を用い、異常を群コホモロジー類に写像する。
• $\pi$-コホモロジー群 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ を、ねじれおよびトポロジカルなコホモロジー部分群を含むアーベル群として定義する。
• アドラー＝ベル＝ジャッキー異常を、$H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ の自由部分群 $ ext{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$ を用いて分類する。
• 非ABJ異常へと分類を拡張するため、$H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ を含め、非摂動的およびグローバル異常を捉える。
• 重力異常を、d+1次元における長距離もつれのとれたトポロジカル秩序と関連づけ、SPT-異常双対性を一般化する。
• ウィッテンのSU(2)グローバル異常を非ABJゲージ異常として分類するためのフレームワークを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 d次元の場の理論におけるゲージ異常は、アドラー＝ベル＝ジャッキー異常を超えて、どのように体系的に分類できるか？
• RQ2 非ABJゲージ異常、特にウィッテンのSU(2)異常のようなグローバル異常を分類するための正確な数学的構造は何か？
• RQ3 $\pi$-コホモロジー群 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ は、既存の異常分類フレームワークをどのように統合し一般化するか？
• RQ4 1つ高い次元における対称性保護型トポロジカル秩序（SPT秩序）は、ゲージ異常を特徴付けるために果たす役割は何か？
• RQ5 重力異常は、高次元系におけるトポロジカル秩序とどのように関係しているか？

主な発見

• d次元の場の理論におけるゲージ異常は、$\text{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})] \oplus H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ によって分類され、すべての既知の異常を統合するフレームワークを提供する。
• アドラー＝ベル＝ジャッキー異常は、群コホモロジーの自由部分群 $\text{Free}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$ によって完全に捉えられ、標準的コホモロジーによる分類が裏付けられる。
• ウィッテンのSU(2)異常のような非ABJゲージ異常は、$\pi$-コホモロジー群 $H_\pi^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ によって分類され、標準的群コホモロジーを超える。
• $\pi$-コホモロジー群には、ねじれコホモロジー $\text{Tor}[H^{d+1}(G,\mathbb{R}/\mathbb{Z})]$ とトポロジカルコホモロジー $H^{d+1}(BG,\mathbb{R}/\mathbb{Z})$ が部分群として含まれ、異なる異常タイプを統合する。
• 重力異常は、d+1次元におけるトポロジカル秩序（長距離もつれ）と関連づけられ、ゲージ異常におけるSPT-異常双対性と類似する。
• このフレームワークにより、ボソン的およびフェルミオン的非ABJ異常の完全な分類が可能となり、$\pi$-コホモロジー群はフェルミオン的状況の一部を分類する。