[論文レビュー] Classifying the Type of Principal Groupoid C*-algebras

Lisa Orloff Clark|ArXiv.org|Nov 17, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、主群体群のC*-代数の型を、軌道空間 $G^0/G$ の位相的性質と作用素代数的性質を結びつけることで分類する。$C^*(G)$ がCCRであることは、$G^0/G$ が $T_1$ であることと同値であり、GCRであることは $G^0/G$ が $T_0$ であることと同値であり、Fell代数であることは $G$ がCartan群体群であることと同値である。このとき、軌道空間からC*-代数のスペクトルへの連続写像（$T_0$ のときには同相写像）を構成する。

ABSTRACT

Suppose $G$ is a second countable, locally compact, Hausdorff groupoid with a fixed left Haar system. Let $\go/G$ denote the orbit space of $G$ and $\cs(G)$ denote the groupoid $C^*$-algebra. Suppose that $G$ is a principal groupoid. We show that $C^*(G)$ is CCR if and only if $\go/G$ is a $T_1$ topological space, and that $C^*(G)$ is GCR if and only if $\go/G$ is a $T_0$ topological space. We also show that $C^*(G)$ is a Fell Algebra if and only if $G$ is a Cartan groupoid.

研究の動機と目的

• 変換群C*-代数に関する既知の分類結果を、より広い主群体群の設定に一般化すること。
• 軌道空間 $G^0/G$ の位相的性質と $C^*(G)$ のC*-代数的分類との間の明確な対応を確立すること。
• $C^*(G)$ がFell代数であることと $G$ がCartan群体群であることの同値性を証明し、Cartan対に関する先行研究を拡張すること。
• 軌道空間 $G^0/G$ からスペクトル $\widehat{C^*(G)}$ への連続写像（$T_0$ のときには同相写像）を構成すること。
• 将来の研究においてCCRおよびGCRの結果を非主群体群に拡張するための基盤を提供すること。

提案手法

• 各軌道 $[u]$ に点質量 $u$ から誘導される既約表現 $L^u$ を割り当てる写像 $\psi: G^0/G \to \widehat{C^*(G)}$ を構成する。
• 軌道空間の位相と表現の弱オペレーター位相を用いて、$\psi$ が連続であることを証明する。
• $G^0/G$ が $T_0$ のとき、開いた散乱集合と飽和性を用いて、$\psi$ が単射かつ開写像であることを示し、同相写像であることを証明する。
• 分解定理と $C_c(G)$ の表現論を用いて、$C^*$-ノルムおよび $C^*(G)$ の構造を確立する。
• 主群体群構造を活用して、$C^*(G)$ のイデアルを、$G$-不変な開集合 $Y \subset G^0$ に対して $C^*(G|_Y)$ の形に特徴付ける。
• $G$ がCartan群体群であることと $C^*(G)$ がFell代数であることの同値性を示す。散乱近傍と連続的トレースイデアル、Fell点構造を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 軌道空間 $G^0/G$ にどのような位相的条件が課されると、群体群C*-代数 $C^*(G)$ がCCRになるか？
• RQ2 主群体群 $G$ に対して $C^*(G)$ がGCRであるのはいつか？ これは $G^0/G$ の $T_0$ 性質とどのように関係するか？
• RQ3 主群体群 $G$ がどのような性質を満たすと、$C^*(G)$ がFell代数になるか？ これは $G$ のCartan性質とどのように関係するか？
• RQ4 スペクトル $\widehat{C^*(G)}$ は自然に軌道空間 $G^0/G$ と同一視できるか？ どのような条件下でこれが同相写像になるか？
• RQ5 $G^0$ 内の開集合の散乱集合と飽和性は、$C^*(G)$ のイデアル構造と分類にどのように関係するか？

主な発見

• $C^*(G)$ がCCRであることは、軌道空間 $G^0/G$ が $T_1$ 位相空間であることと同値である。
• $C^*(G)$ がGCRであることは、軌道空間 $G^0/G$ が $T_0$ 位相空間であることと同値である。
• 写像 $\psi: G^0/G \to \widehat{C^*(G)}$ を $\psi([u]) = [L^u]$ で定義すると、これは連続な単射であり、$G^0/G$ が $T_0$ のときには同相写像である。
• $C^*(G)$ がFell代数であることと $G$ がCartan群体群であること（$G^0$ の各点が散乱近傍を持つこと）が同値である。
• 主群体群 $G$ に対して、$C^*(G)$ の任意の閉イデアルは、ある開で $G$-不変な部分集合 $Y \subset G^0$ に対して $C^*(G|_Y)$ の形に表される。これによりイデアルの分類が可能になる。
• $C^*(G)$ がGCRであるとき、最大のFellイデアルは $C^*(G|_Y)$ であり、ここで $Y$ は $G^0$ のすべての点で散乱近傍を持つ点の集合である。