[論文レビュー] Classifying Types

Egbert Rijke|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2019

Logic, programming, and type systems被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は型理論を用いて合成的ホモトピー理論の基礎的道具を発展させ、高次帰納的型によるタイプの分類、ホモトピー余極限における降下性、および反映的部分ユニバースを扱う。コンパクト型間の写像における局所化が反映的部分ユニバースをもたらすことを確立し、N-零タイプの部分ユニバースがモダリティをなすことを証明した。これはホモトピー型理論におけるモダリティおよび等ファイブレーション的置換の構成に不可欠である。

ABSTRACT

The study of homotopy theoretic phenomena in the language of type theory is sometimes loosely called `synthetic homotopy theory'. Homotopy theory in type theory is only one of the many aspects of homotopy type theory, which also includes the study of the set theoretic semantics (models of homotopy type theory and univalence in a meta-theory of sets or categories), type theoretic semantics (internal models of homotopy type theory), and computational semantics, as well as the study of various questions in the internal language of homotopy type theory which are not necessarily motivated by homotopy theory, or questions related to the development of formalized libraries of mathematics based on homotopy type theory. This thesis concerns the development of synthetic homotopy theory.

研究の動機と目的

• 型理論における合成的ホモトピー理論の発展を図り、高次帰納的型と降下性の性質に焦点を当てる。
• ホモトピー型理論における反映的部分ユニバースおよびモダリティの構造を特徴づける。
• コンパクト型間の写像における局所化理論を確立し、モダリティの構成を可能にする。
• 等ファイブレーション的置換作用素を定義・分析し、ホモトピー余極限を取り扱うためのツールとする。
• N-零タイプの部分ユニバースがモダリティをなすことを証明し、型理論における新たなモダリティのクラスを提供する。

提案手法

• ホモトピー被覆、同値関係の余極限、逐次的余極限などの高次帰納的型（HITs）を用いて、タイプを体系的に構成する。
• 被覆および反射的同値関係の余極限における降下性を適用し、余極限上のタイプ族を図式のデータから特徴づける。
• 型理論における命題的トレースおよび写像の像を定義するために、結合構成を導入する。
• 反射的同値関係の余極限のための反射的分解系を構成し、∆-エタール写像を定義して等ファイブレーション的置換をモデル化する。
• 準 F-局所拡大を、コンパクト型間の写像の族における局所化を開始するプッシュアウト構成として定義する。
• 準 F-局所拡大の逐次的余極限を用いて、完全な局所化関手を構成し、その反射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモトピー余極限（被覆や同値関係の余極限など）は、高次帰納的型を用いて型理論でどのように特徴づけられるか？
• RQ2 特定の写像について閉じたタイプの部分ユニバースが反射的であるための条件は何か？
• RQ3 コンパクト型間の写像における局所化は、型理論において体系的に構成可能であり、それがモダリティをもたらすか？
• RQ4 等ファイブレーション的置換作用素は、モダリティの降下性および反射的分解系とどのように関係するか？
• RQ5 対象分類子は、タイプの分類および合成的ホモトピー理論における同一性の支持において果たす役割は何か？

主な発見

• N-零タイプの部分ユニバースがモダリティであることが示され、ホモトピー型理論における新たなモダリティのクラスが得られた。
• コンパクト型間の写像における局所化は反映的部分ユニバースをもたらし、局所化関手は準 F-局所拡大の逐次的余極限として構成された。
• 初期の準 F-局所拡大は、対角埋め込みの普遍性を用いて特徴づけられ、局所化プロセスにおけるその役割が確立された。
• 被覆および反射的同値関係の余極限における降下性により、図式上のデータから余極限上のタイプ族を再構成できる。
• 等ファイブレーション的置換作用素は反射的分解系を用いて構成され、逐次的余極限を含むさまざまなホモトピー余極限に一般化された。
• 局所化関手が反射的であることを証明するには、3つに2つの性質と、対象が F-局所であるときの対角埋め込み型のコンパクト性に依存する。