[論文レビュー] (Claw, C_3)-free digraphs with unbounded dichromatic number

Guillaume Aubian, Luis Kuffner|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2026

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ひとこと要約

著者らは、 directed 3-cycle を無くしつつも非有界な二色合成数を持つ claw-free rook-graph オリエンテーションを構築し、以前の予想を反証する。

ABSTRACT

We construct orientations of rook graphs (whose underlying graphs are claw-free) that contain no directed $C_3$ but have unbounded dichromatic number. This disproves a conjecture of Aboulker, Charbit and Naserasr and improves a result of Carbonero, Koerts, Moore and Spirkl.

研究の動機と目的

• hero を避ける向きづけグラフと claw 森を含む dichromatic number の研究動機づけ。
• vec{C}_3 を持たない claw-free なオリエンテーションを明示的に構築し、その dichromatic number を分析する。
• Aboulker, Charbit and Naserasr の誘導的禁止部分グラフに関する予想を反証する。
• H = vec{C}_3 および S を K_{1,3} の任意の向き付け（クラウ）に対して unbounded な dichromatic number を示すことで、以前の反例を上回る。

提案手法

• N × N の rook グラフ R_N（ claw-free ）を定義し、エッジを向けて digraph D_N を得る。
• D_N が vec{C}_3 を含まないことを、行と列内の向きを分析して証明する。
• |a−c| = |b−d| のとき、4点 (a,b),(a,d),(c,d),(c,b) は有向4サイクルを誘導することを示す。
• Gallai–Witt（多次元 van der Waerden の定理）を適用し、大きな N に対して V(D_N) の任意の k-色染色でモノクロマティックな軸平行平方を強制する。
• いずれかの色クラスが有向4サイクルを誘導することから、二色分割数は k が大きくなると無限大になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 claw-free な vec{C}_3 を含まない有向グラフで、 unbounded な dichromatic number を持つものが存在するか。
• RQ2 vec{C}_3 を H、S を K_{1,3} の任意の向き付けとした反例を構築して dichromatic number の有界性を反証できるか。
• RQ3 HERO や誘導的禁止部分グラフに関する既存の結果は、クラウケースや vec{C}_3-free な向き付けにも拡張されるか。
• RQ4 Gallai–Witt など既存定理が rook-graph ベースの構成とどう相互作用して、無限大の dichromatic number を強制するか。

主な発見

• A_N digraphs D_N は vec{C}_3 を含まない。
• D_N は N が大きくなると dichromatic number が無界となる。
• vec{C}_3 および H の任意の向き付け S のクラウ（K_{1,3}）に対する反例を得る。
• claw-free および vec{C}_3-free の制約の下で unbounded な dichromatic number を示す点で、従来の結果を改善する。
• 構造的検証（ vec{C}_3 がないこと）と Gallai–Witt 定理を用いた色拡張議論を組み合わせて、モノクロマチックな有向4サイクルを強制する。
• Aboulker, Charbit and Naserasr の予想を反証し、Carbonero, Koerts, Moore and Spirkl の初期の成果を強化する。