[論文レビュー] Claw-freeness, 3-homogeneous subsets of a graph and a reconstruction problem

Maurice Pouzet, Hamza Si Kaddour+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、かぎわら型とその補グラフがともにかぎわら型であるようなグラフを特徴づけ、それらがパス、偶数長のサイクル、それらの補グラフ、および特定の例外的グラフ（$A_6$ や $P_9$）から成ることを示している。さらに、2つのグラフが同一の3要素の同型部分集合（クリークまたは独立集合）を持つのは、かつそれが対称差が二部グラフに由来する特定の構造的条件を満たすときであると示している。

ABSTRACT

We describe ${ m Forb}\{K_{1,3}, \bar {K_{1,3}}\}$, the class of graphs $G$ such that $G$ and its complement $\bar{G}$ are claw-free. With few exceptions, it is made of graphs whose connected components consist of cycles of length at least 4, paths, and of the complements of these graphs. Considering the hypergraph ${\mathcal H}^{(3)}(G)$ made of the 3-element subsets of the vertex set of a graph $G$ on which $G$ induces a clique or an independent subset, we deduce from above a description of the Boolean sum $G\dot{+}G'$ of two graphs $G$ and $G'$ giving the same hypergraph. We indicate the role of this latter description in a reconstruction problem of graphs up to complementation.

研究の動機と目的

• 両方のグラフ $G$ とその補グラフ $\overline{G}$ がかぎわら型であるようなグラフ $G$ のクラスを特徴づけること、すなわち $G \in \mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$ であること。
• 同じ3要素の同型部分集合（クリークまたは独立集合）を誘導する2つのグラフのブール和 $G \mathbin{\dot{+}} G'$ を記述すること。
• グラフの補グラフを含めた再構成問題を、3-同型部分集合の同値性に基づいて解くこと。
• グラフのエッジグラフとその対称差の二部構造との間の構造的関係を確立すること。

提案手法

• 3要素の部分集合が $G$ でクリークまたは独立集合を誘導するものとして、ハイパーグラフ $\mathcal{H}^{(3)}(G)$ を用いる。
• ブール和 $G \mathbin{\dot{+}} G'$ を、エッジ集合の対称差として定義する。すなわち $E(G \mathbin{\dot{+}} G') = E(G) \mathbin{\Delta} E(G')$ である。
• グラフ $U$ のエッジグラフ $S(U)$ を構成する。ここで頂点は $U$ のエッジであり、エッジは $U$ 内で長さ2のパスであり、3番目のエッジが欠落しているものに対応する。
• $S(U)$ と $S(\overline{U})$ がともに二部グラフであることは、$U$ が同じ3-同型部分集合を持つ2つのグラフの対称差であることと同値であることを証明する。
• 構造的分解の使用：$\mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$ に属するグラフは、パス、偶数長のサイクル、それらの補グラフ、および $A_6$ や $P_9$ からなる。
• 頂点集合を $V^0$ と $V^1$ に分割し、インデックスの偶奇に基づいてエッジ集合を定義することで、$U = G \mathbin{\dot{+}} G'$ の明示的分解を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 両方のグラフ $G$ と $\overline{G}$ がかぎわら型であるようなグラフ $G$ の完全な構造は何か？
• RQ2 2つのグラフ $G$ と $G'$ が同じ3要素の同型部分集合（クリークまたは独立集合）を持つのはいつか？
• RQ3 同じ3-同型部分集合を持つ2つのグラフの対称差 $G \mathbin{\dot{+}} G'$ はどのように特徴づけられるか？
• RQ4 エッジグラフ構成 $S(U)$ を用いて、このような対称差をどのように特徴づけられるか？
• RQ5 $P_9$ と $A_6$ は、$G$ と $\overline{G}$ がともにかぎわら型であるグラフの分類において果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathrm{Forb}\{K_{1,3}, \overline{K_{1,3}}\}$ のクラスは、$A_6$、$P_9$ の誘導部分グラフ、パスまたは偶数長のサイクルからなるグラフ、およびそれらの補グラフから成る。
• このクラスに属するグラフで、共通の頂点を持たない三角形とその補三角形（co-triangle）を両方含むのは、$A_6$ と $\overline{A_6}$ のみである。
• 2つのグラフ $G$ と $G'$ が同じ3要素の同型部分集合を持つのは、かつそれが $S(G \mathbin{\dot{+}} G')$ と $S(\overline{G \mathbin{\dot{+}} G'})$ がともに二部グラフであるときである。
• 対称差 $U = G \mathbin{\dot{+}} G'$ は、$U$ が $P_9$ の誘導部分グラフであるか、または $U$ や $\overline{U}$ の成分が偶数長のサイクルまたはパスであることを満たす。
• 成分が偶数長のサイクルまたはパスであるようなグラフ $U$ に対して、$M_n$、$M'_n$、$M''_n$ グラフを用いて、$U = G \mathbin{\dot{+}} G'$ を満たす $G$ と $G'$ の明示的構成が与えられる。
• グラフ $U$ が二部グラフであれば $S(U)$ は二部グラフであり、$U$ が偶数長のサイクルまたはパスの disjoint な和（またはそれらの補グラフ）であれば $S(\overline{U})$ は二部グラフである。これにより、このような分解が存在することが保証される。