[論文レビュー] Clifford Algebras and Lorentz Group

В. В. Варламов|ArXiv.org|Aug 26, 2001

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 18被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、正しい直交ローレンツ群の有限次元表現を分類するための代数的枠組みとしてクリフォード代数を確立し、基本的自己同型を通じて離散的対称性（P, T, PT, C）を統一的に扱う。質量ゼロの場に対しては商表現を導入し、ニュートリノ場のウェイル＝ヘステインス方程式を導出し、アティヤ＝ボット＝シャピロ周期性とド・ブロイ＝ジョーダンおよびゲルマン＝ネーエマンのモデルを結びつける。

ABSTRACT

Finite-dimensional representations of the proper orthochronous Lorentz group are studied in terms of spinor representations of the Clifford algebras. The Clifford algebras are understood as an `algebraic covering' of a full system of the finite-dimensional representations of the Lorentz group. Space-time discrete symmetries P, T and PT, represented by fundamental automorphisms of the Clifford algebras, are defined on all the representation spaces. Real, complex, quaternionic and octonionic representations of the Lorentz group are considered. Physical fields of the different types are formulated within such representations. The Atiyah-Bott-Shapiro periodicity is defined on the Lorentz group. It is shown that modulo 2 and modulo 8 periodicities of the Clifford algebras allow to take a new look at the de Broglie-Jordan neutrino theory of light and the Gell-Mann-Ne'emann eightfold way in particle physics. On the representation spaces the charge conjugation C is represented by a pseudoautomorphism of the complex Clifford algebra. Quotient representations of the Lorentz group are introduced. It is shown that quotient representations are the most suitable for description of the massless physical fields. By way of example, neutrino field is described via the simplest quotient representation. Weyl-Hestenes equations for neutrino field are given.

研究の動機と目的

• 高スピン場に対する標準的取り扱いにおける離散的対称性の不整合を、統一的な代数的枠組みに埋め込むこと。
• 時空の離散的対称性 P, T, PT および電荷共役 C を、クリフォード代数 Cℓ_{p,q} の基本的自己同型として定義し、すべての表現タイプにおいて一貫性を保証すること。
• 質量ゼロの場、特にニュートリノに対して特に適した自然な形式的枠組みとして商表現を導入し、ウェイル＝ヘステインス方程式を用いてその力学を導出すること。
• ローレンツ群上でのアティヤ＝ボット＝シャピロ周期性を確立し、ド・ブロイ＝ジョーダンの光のニュートリノ理論や素粒子物理学における八重道理論といった物理的理論と結びつけること。
• 複素クリフォード代数の擬似自己同型が電荷共役を実現することを示し、ニュートリノ場が質量ゼロのディラック＝ヘステインス方程式に等価であることを示す。

提案手法

• 正規直交ローレンツ群の有限次元表現は、複素クリフォード代数 Cℓ_n(C) のスピン表現を用いて構成され、代数が群表現の「代数的被覆」として機能する。
• 離散的対称性 P, T, PT は、クリフォード代数 Cℓ_{p,q} の基本的自己同型として定義され、外部から強制されるのではなく、代数的構造に内在的に結びつけられる。
• 電荷共役 C は、複素クリフォード代数の擬似自己同型として表現され、フェインマン＝シュテュケルベルグ解釈に従う時間反転と反粒子の定式化と整合的である。
• ローレンツ群のための商表現が導入され、特に質量ゼロの場に適している。ニュートリノ場は、その中で最も単純な表現として実現される。
• ウェイル＝ヘステインス方程式は、質量ゼロのディラック＝ヘステインス方程式を、体積要素 γ₅ = γ₀γ₁γ₂γ₃ を用いてヘリシティ部分空間に射影することによって導出される。
• アティヤ＝ボット＝シャピロ周期性は、クリフォード代数の代数的構造を通じてローレンツ群上に実現され、mod 2 および mod 8 の周期性が物理的モデルと結びつく。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ群のすべての有限次元表現に一貫して適用可能な離散的対称性 P, T, PT, C をどのように定義できるか？
• RQ2 商表現は、特にニュートリノを含む質量ゼロの物理的場を記述する上で果たす役割は何か？
• RQ3 アティヤ＝ボット＝シャピロ周期性はローレンツ群上でどのように現れ、素粒子物理学の理論的モデルにどのような含意を持つのか？
• RQ4 ニュートリノ場のウェイル＝ヘステインス方程式は、クリフォード代数に基づく一貫した代数的枠組みから導出可能か？
• RQ5 クリフォード代数の基本的自己同型を用いることで、標準的高スピン場理論における不整合はどのように解消されるか？

主な発見

• 質量ゼロのディラック＝ヘステインス方程式 ∂ϕγ₂γ₁ = 0 はニュートリノ場を記述し、そのヘリシティ射影子 P₊ および P₋ を用いた射影により、2つの独立したウェイル＝ヘステインス方程式が得られる。
• スピン場 ϕ ∈ Cℓ_{3,0}⁺ はディラック＝ヘステインス方程式 ∂ϕγ₂γ₁ − (mc/ℏ)ϕγ₀ = 0 を満たし、質量ゼロ極限においてニュートリノ場の運動方程式が得られる。
• 場 ϕ は C ∼ T のフェインマン＝シュテュケルベルグ解釈に従い、CP対称性を示す。ヘリシティ成分 ϕ⁺ および ϕ⁻ はそれぞれ4つの独立した複素成分を含む。
• ウェイル＝ヘステインス方程式はスピンルーティン形式の標準的ウェイル方程式に等価であり、ニュートリノ場がヘリシティ基底における質量ゼロのディラック方程式の解であることを確認する。
• アティヤ＝ボット＝シャピロ周期性の mod 2 および mod 8 の周期性は、クリフォード代数の構造を通じてローレンツ群上に実現され、素粒子物理学における周期性のより深い代数的基盤を提供する。
• 商表現が質量ゼロの場に最も適した形式的枠組みであることが示され、ニュートリノ場はその中で最も単純な例である。