[論文レビュー] Clifford Algebras, Clifford Groups, and a Generalization of the Quaternions: The Pin and Spin Groups

Jean Gallier|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 19被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、Clifford代数、スピン群およびピン群、およびそれらがR^nにおける回転を記述するためのクaternionと複素数の一般化として果たす役割について包括的なチュートリアルを提供する。スピン群Spin(n)は、Clifford代数Cl_nの単位元の部分群として定義され、R^n上で乗法により作用することで、R^2におけるU(1)の作用およびR^3におけるSU(2)の作用を一般化する。主な貢献は、スピン群を用いた高次元回転の統一的代数的枠組みの構築である。

ABSTRACT

Abstract: One of the main goals of these notes is to explain how rotations in R n are induced by the action of a certain group, Spin(n), on R n, in a way that generalizes the action of the unit complex numbers, U(1), on R 2, and the action of the unit quaternions, SU(2), on R 3 (i.e., the action is defined in terms of multiplication in a larger algebra containing both the group Spin(n) and R n). The group Spin(n), called a spinor group, is defined as a certain subgroup of units of an algebra, Cln, the Clifford algebra associated with R n. Since the spinor groups are certain well chosen subgroups of units of Clifford algebras, it is necessary to investigate Clifford algebras to get a firm understanding of spinor groups. These notes provide a tutorial on Clifford algebra and the groups Spin and Pin, including a study of the structure of the Clifford algebra Clp,q associated with a nondegenerate symmetric

研究の動機と目的

• R^nにおける回転が、スピン群Spin(n)がR^n上で作用することによってどのように誘導されるかを説明すること。
• Clifford代数Cl_p,qがスピン群およびピン群を定義する上で果たす基盤的役割を確立すること。
• スピン群を用いて、R^2におけるU(1)の作用およびR^3におけるSU(2)の作用を任意次元に一般化すること。
• Clifford代数およびそれらに関連する群の構造と性質についてのチュートリアルを提供すること。

提案手法

• 非退化な対称双線形形式を用いてR^nに関連するClifford代数Cl_nを定義する。
• 回転の代数的構造を保つCl_nの単位元の部分群としてスピン群Spin(n)を構成する。
• Clifford代数内での乗法によるSpin(n)のR^n上での作用を用いて回転を誘導する。
• 非退化な対称形式に対するCl_p,qの構造を分析し、スピン群およびピン群の振る舞いを理解する。
• Spin(n)が高次元において、ユニタリクaternion（SU(2)）およびユニタリ複素数（U(1)）をどのように一般化するかを示す。
• ピン群およびスピン群と直交変換の表現における役割との関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン群Spin(n)はR^n上でどのように作用し、U(1)およびSU(2)の作用を一般化するのか？
• RQ2 Clifford代数Cl_p,qの代数的構造は何か？ そして、スピン群およびピン群の定義を支えるのはどのような構造か？
• RQ3 ピン群およびスピン群は、高次元における直交群O(n)およびSO(n)とどのように関係しているか？
• RQ4 Clifford代数Cl_nは、R^2、R^3、およびR^nにおける回転の表現をどのように統一するのか？
• RQ5 Cl_p,qがスピン群を単位元の部分群として構成可能にするために必要な主要な構造的性質は何か？

主な発見

• スピン群Spin(n)は、Clifford代数Cl_nの単位元の部分群として定義され、R^nにおける回転の自然な代数的枠組みを提供する。
• Spin(n)がR^n上で果たす作用は、Clifford代数内での乗法によって実現され、R^2におけるU(1)の作用およびR^3におけるSU(2)の作用を一般化する。
• ピン群はスピン群を反射を含むように拡張し、直交群O(n)を一般化する。
• 非退化な対称形式に対するCl_p,qの構造は、スピン群およびピン群の代数的および群論的性質を決定づける。
• Clifford代数は、クaternionおよび複素数を高次元に一般化する統一的代数的言語を提供する。
• Clifford代数を用いたスピン群の構成により、任意次元におけるスピン表現および回転の一貫性があり体系的な記述が保証される。