[論文レビュー] Clifford Algebras, Supersymmetry and $Z_n-$symmetries: Applications in Field Theory

Michel Rausch de Traubenberg|ArXiv.org|Feb 20, 1998

Advanced NMR Techniques and Applications参考文献 5被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、クリフォード代数と$Z_n$-対称性を用いて、一般化された超対称性の枠組みを導入し、$F$次分数超対称性（FSUSY）を導出する。一般化されたグラスマン代数を介して$q$-変形ヘイゼンベルク代数を構築することで、非線形に閉じた対称性が得られ、標準超対称性を拡張し、1次元ワールドライン、2次元コンフォーマル場理論、および任意onsを示す任意のスピン状態（anyons）を有する$1+2$次元時空に適用可能である。

ABSTRACT

After a short introduction on Clifford algebras of polynomials, we give a general method of constructing a matrix representation. This process of linearization leads naturally to two fundamental structures: the generalized Clifford algebra (GCA) and the generalized Grassmann algebra (GGA) which are studied. Then, it is proved that if we equip the GGA with a differential structure, we obtain the $q-$deformed Heisenberg algebra or the $q-$oscillators. Finally, it is shown that the $q-$deformed Heisenberg algebra is the basic tool to define an adapted superspace leading to the extension of supersymmetry called fractional supersymmetry of order $F$ (FSUSY), $F=2$ corresponding to the usual supersymmetry. Local FSUSY in one dimension is then contructed in the world-line formalism, and an extension of the Dirac equation is obtained. In two dimensions, it turns out that FSUSY is a conformal field theory and in addition to the stress energy tensor, a supercurrent of conformal weight $1+1/F$, which generates a symmetry between the primary fields of conformal weight $(0,1, \cdots, 1-1/F$), is obtained. The algebra is explicitly constructed. We also show that in $1+2$ dimensions FSUSY is a non-trivial extension of the Poincaré algebra which generates a symmetry among fractional spin states or anyons. Unitarity of the representation is checked. Finally, we prove that, independently of the dimension, a natural classification emerges according to the decomposition of $F$ as a product of prime numbers and that FSUSY is a symmetry which closes non-linearly, and is sustained by mathematical structures that go beyond Lie or super-Lie algebras.

研究の動機と目的

• 標準超対称性を$Z_n$-対称性とクリフォード代数に基づく新しいクラスの対称性によって一般化すること。
• 一般化されたクリフォード代数およびグラスマン代数を用いて、$q$-変形振動子を記述する数学的枠組みを構築すること。
• $F=2$が標準超対称性を回復する分数超対称性（FSUSY）の$F$次元の整合的構成を行うこと。
• FSUSYを1次元ワールドラインモデルおよび2次元コンフォーマル場理論に適用すること。
• $1+2$次元にFSUSYを拡張し、分数スピン状態（anyons）上で作用すること、およびユニタリ表現が確認されることを示すこと。

提案手法

• 多項式クリフォード代数の行列表現を線形化することで、一般化クリフォード代数（GCA）および一般化グラスマン代数（GGA）を導出する。
• GGAに微分構造を導入し、$q$-変形ヘイゼンベルク代数を導出し、$q$-振動子を記述する。
• $q$-振動子代数を基盤として、$F$次分数超対称性（FSUSY）の拡張された超空間を定義する。
• ワールドライン形式を用いて1次元における局所的FSUSYを構築し、一般化されたディラック方程式を導出する。
• 2次元の場合をコンフォーマル場理論として分析し、コンフォーマルノルム$1 + 1/F$のスーパーライクスを同定し、ノルム$0, 1, \dots, 1 - 1/F$の一次元場に作用することを示す。
• $1+2$次元に構成を拡張し、FSUSYが非線形に閉じており、anyons上で作用することを示し、ユニタリ表現が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準超対称性は、$Z_n$-対称性とクリフォード代数を用いてどのように一般化可能か？
• RQ2 一般化されたグラスマン代数から導かれる$q$-変形ヘイゼンベルク代数の背後にある代数的構造は何か？
• RQ3 1次元ワールドラインモデルにおいて、$F$次分数超対称性は一貫して実現可能か？
• RQ4 2次元コンフォーマル場理論におけるFSUSYにおいて、コンフォーマルノルム$1 + 1/F$のスーパーライクスの役割は何か？
• RQ5 $1+2$次元において、FSUSYはポアンカレ代数をどのように拡張するか？また、そのユニタリ表現は一貫しているか？

主な発見

• $q$-変形ヘイゼンベルク代数は、一般化されたグラスマン代数の微分構造から自然に導かれ、FSUSYの代数的基盤を提供する。
• 分数超対称性$F$次は、標準超対称性の非線形に閉じた拡張として構成され、$F=2$で通常の超対称性が回復される。
• 2次元では、コンフォーマルノルム$1 + 1/F$のスーパーライクスを有するコンフォーマル場理論としてのFSUSYであり、ノルム$0, 1, \dots, 1 - 1/F$の一次元場に作用する。
• $1+2$次元では、FSUSYは分数スピン状態（anyons）上で作用するポアンカレ代数の非自明な拡張であり、ユニタリ表現が確認された。
• $F$の素因数分解から、FSUSYの自然な分類が得られ、これはリー代数や超リー代数を越えた深い数学的構造を示唆する。
• この枠組みは次元を問わず整合的であり、FSUSYが$q$-変形および$Z_n$-対称性に根ざした一般化代数的構造によって支えられていることが明らかになった。